Симметричные пространства Максвелла и первые интегралы системы уравнений Лоренца

• Автор: Ерина, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1. Основные структуры на многообразиях
2. Симметрии геометрических объектов
3. Пространства Эйнштейна-Максвелла
4. Групповые классификации пространств Максвелла и потенциалов
Глава 2. Первые интегралы уравнений Лоренца
1. Классические и обобщенные уравнения Лоренца
2. Теоремы Э. Нётер и Е. Бессель-Хагена
3. Алгоритм М. А. Паринова получения первых интегралов обобщенных уравнений Лоренца и его модификация
4. Первые интегралы в случае класса ПМНТ ИТщ
5. Первые интегралы в случае класса ПМНТ ИА5
6. Первые интегралы в случае класса ПМНТ И'бд
7. Первые интегралы в случае класса ПМНТ 1Тб,б
Глава 3. Нётеровы пространства Максвелла и факторы Бессель-Хагена
1. Исходные определения и некоторые обозначения
2. Пространства Максвелла с одномерными группами симметрий
3. Пространства Максвелла с трехмерными группами симметрий
4. Факторы Бессель-Хагена для некоторых 3-мерных и 4-мерных подгрупп группы Пуанкаре
Заключение
Литература

Введение
Одной из важных задач исследования систем дифференциальных уравнений является задача получения первых интегралов, т. е. таких функций зависимых и независимых переменных (и их производных строго меньшего порядка, чем порядок системы), которые постоянны вдоль интегральных линий. Зачастую именно первые интегралы несут больше информации об изучаемой системе, чем решения, так как имеют глубокий физический смысл. В физике первые интегралы называют законами сохранения, а в случае уравнений движения — еще интегралами движения. С математической точки зрения знание первых интегралов ведет к частичному интегрированию системы уравнений, с физической же — к сокращению числа неизвестных параметров, т. е. к более полному представлению о ее движении.
Связь теории дифференциальных уравнений с другими математическими науками послужила источником развития множества новых направлений и методов в современной математике, таких, как групповой анализ дифференциальных уравнений [29], [15], [30], [54], алгебраические и геометрические методы исследования дифференциальных уравнений и многих других. Исключительно плодотворной оказалась идея о наличии связи между симметриями функционалов в вариационных задачах и существованием первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа, реализованная в теоремах Нётер и Бессель-Хагена [8, 60, 57].
Уравнения Лоренца (см. [25])
££ = ** щ г* у?ик - — о« ЕЛ ик ик~— Г Л
<1з ~ с1з " тс29 зк ’ Ж ’ ( ]
описывающие движение пробной заряженной частицы в электромагнитном поле Еу1 , играют важную роль при исследовании структуры этого поля. Расчеты многих физических эффектов основаны на использовании уравнений Лоренца [52], поэтому они до сих пор не потеряли своей актуальности. Уравнения (1) могут быть получены как уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала
5[х] = j (~тс(1з - -Аг<1хг'1 — (2)
действия для частицы с массой т и зарядом е в электромагнитном поле с 4-потенциалом Ар Е„ = — дА.
1 Возможно, при наличии гравитации, описываемой метрическим тензором (дч) = (д„)
Г)а: = к9г1(,91к + дкдц - 3/д;у) — связность Леви-Чивиты.

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что частица, помещенная в электромагнитное поле, не характеризуется, вообще говоря, никакими сохраняющимися механическими величинами [55, 56]. Другими словами, уравнения (1) в общем случае не имеют первых интегралов. Поэтому поля Пу, для которых уравнения Лоренца имеют первые интегралы, представляют особый интерес. В 1981 г. М. А. Паринов предложил метод получения первых интегралов уравнений Лоренца, основанный на понимании электромагнитного поля как симплектичеекой структуры на 4-мерном многообразии пространства-времени [32, 18, 40] и применения теоремы Э. Нётер [60]. Этот метод позволяет в случае нетривиальной группы симметрий Сф эффективно получить все интегралы уравнений Лоренца, существование которых следует из теоремы Е. Бессель-Хагена [57]. Полученные результаты описаны в работах [1, 2, 5, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 31, 36, 39, 59, 40, 51]. В дальнейшем этот метод был обобщен [38, 40] на более широкий класс систем дифференциальных уравнений — обобщенных уравнений Лоренца (см. с. 41).
В связи с задачей получения первых интегралов системы уравнений Лоренца М. А. Паринов ввел понятие пространства Максвелла [37, 40], представляющее собой тройку (М,д,Г), где М — гладкое 4-мерное многообразие, д = ду <1хг(1х*
псевдоевклидова метрика лореицевой сигнатуры ( ь) на М, а П = йхг А сЬ
- замкнутая внешняя дифференциальная 2-форма на М. Классификация пространств Максвелла по подгруппам группы Пуанкаре описана в работах [3, 6, 23, 26, 27, 28, 45] и в окончательной форме в работах [40, 41, 44]. Изучение симметрий пространств Максвелла, а также их применение к уравнениям Лоренца привело к понятиям нётерова пространства Максвелла [21] и фактора Бессель-Хагена для подгруппы группы Пуанкаре [22].
В данной диссертационной работе, состоящей из трех глав, продолжено изучение свойств симметричных пространств Максвелла и их применение к получению первых интегралов системы уравнений Лоренца.
Первая глава является реферетивной. В ней приведены исходные понятия и факты, сформулированы определения основных структур на многообразиях, введены понятия пространств Максвелла и Эйнштейна-Максвелла, отмечены их некоторые свойства. Описана суть классификации пространств Максвелла и потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре.
Во второй главе предложена модификация алгоритма Паринова получения первых интегралов уравнений Лоренца с использованием классификации потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре [43] и классификации пространств Максвелла по подгруппам группы Пуанкаре [40, 41, 44]. В качестве примеров найдены первые интегралы для пространств Максвелла с нулевым током [48] следующих классов: Ифд, ИФ,5, и Ифд; эти интегралы описаны в работе автора [9].
В третьей главе получены условия нётеровости для некоторых классов пространств Максвелла и найдены факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре. Эти результаты описаны в работах автора [10, 11, 12, 13].
4. ГРУППОВЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ ПРОСТРАНСТВ МАКСВЕЛЛА И ПОТЕНЦИАЛОВ
Охахф векторы еа4) соответствуют псевдовращениям в плоскостях Охах4 (преобразованиям Лоренца). Линейная оболочка векторов £1; , ф обозначается через
• > 6;}- В частности, алгебра L{ei, е2, ез, е4} соответствует группе трансляций, Z/{ei2, ei3, е2з} — группе поворотов в пространстве Rq, a L{ei2, ei3, е23, е44, е24, е34} — группе Лоренца.
4.1.3. Классификация И. В. Белько подгрупп группы Пуанкаре. Две подгруппы П и Я2 группы G называются сопряженными, если Hh — h//2 для некоторого h £ G. В работе И. В. Белько [4] приведена классификация связных подгрупп группы Пуанкаре с точностью до сопряженности; в ней приведен список алгебр Ли векторных полей, соответствующих представителям классов сопряженных подгрупп. Выпишем эти подалгебры для размерностей, не превосходящих шести1. Алгебры обозначаются символом £м (р — размерность алгебры, q — номер в списке подалгебр размерности р), добавляя в случае необходимости к числу q букву а, 6, с, ... Соответствующие им подгруппы группы Пуанкаре обозначаются через GPiQ.
1-мерные подалгебры алгебры £д
1) £-i,ia = L{ei}, Ci b = А{е4}, Ci ic = Ь{е2 + е4}. Соответствующие группы Счда> Giдь, Стдс представляют собой трансляции вдоль пространственноподобной, времениподобной и изотропной прямых.
2) £1,2 = L{oi3 +Хе2 +ре4} (Х,р = const, Хр(Х — р) = 0). Группа Gli2 состоит из эллиптических винтов вида
При А = ц = 0 это повороты; при А ф 0, /г = 0 — винты с пространственноподобной осью; при А = 0, р ф 0 — винты с времениподобной осью; при А = р ф 0 — винты с изотропной осью.
3) £рг = Г{е24 + ei} (А = const). Группа G13 состоит из гиперболических винтов вида
х1 = х1 cos а + х3 sin а. х2 = Ха + х2, х3 = —х1 sin а + х3 cos а, х4 = ра + х4.
(1.4.4)
х1 = х1 + А а, х2 = х2 ch a. + х4 sh а, х3 = х3, х4 = х2 sh a. + х4 ch а.
(1.4.5)
При А = 0 это псевдовращения (преобразования Лоренца).
1 Согласно [58] не существует пространств Максвелла с группой симметрий размерности
больше шести.