Пространства Степанова и Вейля в Rn и дифференциальные уравнения

• Автор: Шихаб Ахмед Вади
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 73 с.

Глава I. Задача Коши для абстрактных диференциальных

уравнений первого порядка и полугруппы

§1.1 Вектор-функции со значениями в банаховом

пространстве

§ 1.2 Оператор—функции и полугруппы

Глава II. Пространства Степанова и Вейля в 11"

§2.1 Пространства Степанова в К"

§2.2 З'р (- пространства Степанова

§2.3 Пространства Вейля

§2.4 Шкала пространств

Глава III. Полугруппы Гаусса-Вейерштрасса и Пуассона.

Оценка решения задачи Коши
§3.1 Операторы типа свертки
§3.2 Полугруппа Гаусса-Вейерштрасса
§3.3 Полугруппа Пуассона
§3.4 Интегралы дробнго порядка Бесселя
§3.5 Параболические потенциалы
Литература

Так как задачи математической физики описывают реальные физические процессы, то математическая постановка этих задач должна удовлетворять следующим требованиям: ( см. [2], стр. 08)
а) Решение должно существоват/ь в каком-то классе функций Лф.
б) Решение должно быть единственным в некотором классе функций М2.
в) Решение должно непрерывно зависеть от данных.задачи ( начальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т.д.).
Задача, удовлетворяющая требованиям а)- в) называется корректно поставленной, а соответствующее множество функций АЛ ПЛ^2 классом корректности.
При этом требование в) носит название устойчивости задачи и означает, что для любого е > 0 можно указать такое <5 > 0, что из неравенства Ам,(/ъЛ) < <5, следует рм2(щ,и2) < е, где рМх и Рм2 - некоторые метрики в М и М2 соответственно.
Здесь важно отметить, что устойчивость задачи зависит от выбора топологий в АЛ1 и АЛ.
Например, пусть задача приводится к уравнению
Аи = /,
где А- линейный оператор, переводящий М в Л/", где АЛ и N линейный нормированные пространства.
В этом случае непрерывная зависимость решения и от свободного члена / будет обеспечена, если оператор А~х существует и ограничен из N в М.. Однако подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора А~1. Так устойчивость будет иметь место, если пространство Л/" наделить нормой
ты = \А-1дм = Ым,
и тогда
ЦД-‘|| = в„рН^Д*! = 1,
I/O \fW
Однако, обычно топологии диктуются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.
В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи Af и решений М.
1. С одной стороны желательно, чтобы эти топологии не зависили ОТ оператора А. Например, в случае когда А = А(А)- оператор зависящий от некоторого параметра А, важно, чтобы область определения обратного оператора А-1(А) (например, резольвенты R(X, А) = {А — А/)-1) была не зависящей от А.
2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкие пространства данных задачи F при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "пространстве М
Так, наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных функций /(ж), х е Q С Rn (Г2~ ограни-

Меняя порядок интегрирования, получаем
±{кт ,+.+*>- /(х+.)г«ь < |*щ •
Возводя последнее неравенство в степень и, переходя в его левой части к вир по г € Я,71, получаем (2.2.7), а вместе с ним и доказательство леммы.
§2.3. Пространства Вейля.
Как известно ( см. [13], стр.197 ) в одномерном случае, если / 6 5^ с нормой
Г1 гт.А-1 V
(2.3.1)
[|Г1Л*>|
то всегда существует предел (см. [13], стр. 221)
5*1 = 8иР хеЮ
Яр{Л = Шп ||/||5р,„ (2-3.2)
конечный или бесконечный.
Этот факт был использован Г. Вейлем при изучении почти периодических функций, где функционал р(/,з) = дР(/-р)- (2.3.3)
Вообще говоря функционал %(/) вырождается, например, на функциях из Ьр(—оо,оо). Однако в случае почти- периодических функций (2.3.3) является метрикой.
В отличии от пространств Степанова, пространства Вейля неполны (см. [13], стр. 242).