Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы

• Автор: Шепилова, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 104 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
§1. О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ШРЕДИНГЕРА
1.1. Слабая разрешимость уравнения
1.2. Гладкая разрешимость уравнения
1.3. Разрешимость уравнения с неоднородностью, гладкой
по пространству
§2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛУДИСКРЕТНЫМ
МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА
2.1. Проекционные подпространства и
связанные с ними проекторы
2.2. Оценки погрешности и сходимость полудискретного метода для произвольных проекционных подпространств
2.3. Оценки погрешности и сходимость полудискретного метода с дополнительным предположением на проекционные подпространства
§3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРОЕКЦИОННОРАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ С НЕЯВНОЙ СХЕМОЙ
ЭЙЛЕРА ПО ВРЕМЕНИ
3.1. Сходимость проекционно-разностного метода
в норме (7([0, Т], Я)

3.2. Сходимость проекционно-разностного метода
в норме С([0,Т],У)
§4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРОЕКЦИОННОРАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ СО СХЕМОЙ КРАНКА-НИКОЛСОН ПО ВРЕМЕНИ
4.1. Сходимость проекционно-разностного метода для уравнения типа Шредингера с формой,
не зависящей от времени, в норме С7([0, Т], Я)
4.2. Сходимость проекционно-разностного метода
для уравнения с оператором, зависящим от времени,
в норме С ([О, Т], V)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Данная диссертационная работа посвящена вопросам разрешимости линейной нестационарной начально-краевой задачи типа Шредингера, заданной в вариационной форме, теоретическому обоснованию сходимости и получению оценок скорости сходимости проекционного и проекционноразностных методов приближенного решения такого уравнения.
Известно, что вариационная трактовка начально-краевых задач является весьма эффективной. При изучении параболических уравнений такой подход представлен, например, в монографиях [1], [2], [3]; при изучении эллиптических уравнений — [4], [5], [6]. При этом главное внимание уделяется вопросам слабой разрешимости соответствующих задач. Обоснование разрешимости данных задач часто проводится с помощью полу-дискретного проекционного метода, априорных оценок приближенных решении и последующего обоснования слабого предельного перехода. В этой связи, кроме уже отмеченных монографий, обратим внимание на работы [7], [8].
Существенно меньше результатов для уравнений гиперболического типа. Обоснование разрешимости задач и получение оценок погрешности с помощью проекционных методов проводилось для частных случаев гиперболических уравнений второго порядка, одномерных или двумерных по пространственным переменным, с коэффициентами, не зависящими от времени (см., напр., [9], [10], [11] — [17]). При этом делаются ограни-

Доказательство. Установим для um(t) — решения задачи (1.4) дополнительные априорные оценки. При этом считаем, что элемент vPm Є V выбирается так, как это сделано в теореме 1.1. Рассмотрим тождество (1.19) и возьмем от него удвоенную мнимую часть, далее воспользуемся дифференцируемостью формы a{t, и, и), а полученное тождество (1.20) проинтегрируем от 0 до t < Т. В результате получим тождество (1.21), в котором первое и второе слагаемое оценим аналогично тому как это проводилось в теореме 1.1.
Последнее слагаемое оценим следующим образом:
21т/ {f{s),u'{s))ds < 2 [ \Pmf{s)\v\u(s))\v'ds <
J 0 J о
<с2/ \m\2vdt+ f \u(s))$, ds . (1.39)
J 0 J
Запишем задачу (1.15) в операторном виде
и’т№) + * PmA{t)v!m{t) + І PmA'{t)um{t) = Pmf'it) . (1.40)
Отсюда, из (1.1), (1-2) и условия на координатную систему, подобно тому как проводилось в теореме 1.2, следует
К(*)1|2Щ < MlWm{t)\v + 2>Ml\u.m(t)\l + 3c2\f(t)\2v.
В результате несложных преобразований, из последнего неравенства, (1.39) и (1.37), получим
2Im [ (f'(s),u'is))ds
+ С2 (||/(і) \Ь + \f(t) fy) dt+c3J ||<(S) fyds. (1.41)
Таким образом, из (1.21) и оценок (1.22), (1.23), (1.41), (1.1) следует
а ІІ'И'шСОІІИ —Clj0 + WfWv) dt + С2І|и”?||у + Сз||и(0)|| +