Сходимость в L спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами

• Автор: Афонин, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Формулы сдвига
1.1. Асимптотические формулы сдвига для операторов нечетного порядка выше первого
1.2. Точные формулы сдвига для операторов первого порядка
Глава 2. Оценка скорости равносходимости для операторов
первого порядка на внутреннем компакте
Глава 3. Оценка скорости равносходимости для операторов произвольного нечетного порядка на внутреннем компакте
Глава 4. Оценка скорости равносходимости для операторов произвольного нечетного порядка на всем интервале
Глава 5. Примеры
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена изучению сходимости биортогональных разложений для линейных обыкновенных дифференциальных операторов нечетного порядка с негладкими коэффициентами. Рассмотрен вопрос равносходимости таких биортогональных разложений с разложением в тригонометрический ряд Фурье (ТРФ). Получены оценки скорости равносходимости как на произвольном внутреннем компакте, так и на всем отрезке. Для указанного класса операторов получены формулы сдвига, выражающие значения корневой функции в точках у + г и у — г через значения этой функции и ее производных в точке у и через интегралы по отрезкам [г/, у + г] и [у — г, г] соответственно.
Большую роль в привлечении математиков к спектральной теории дифференциальных операторов сыграла монография Э.Ч. Титчмаргаа [1], в которой дай новый подход к теории сингулярных операторов Штурма-Лиувилля и поставлен (частично под влиянием задач квантовой механики) и решен целый ряд новых задач. В этой книге получена важная для данной работы так называемая формула среднего значения Титчмарша для собственных функций оператора второго порядка. Вопросами равносходимости занимались также Э.Ч. Титчмарш, А. Хаар, В.М. Левитан, Я.Л. Геронимус и другие.
М.В. Келдыш [2, 3] установил теоремы о полноте системы корневых векторов и теоремы об асимптотических свойствах собственных чисел для широкого класса полиномиальных пучков несамосопряженных операторов. Эти теоремы привели также к новым сильным результатам для обыкновенных дифференциальных операторов. Работы М.В. Келдыша стимулировали исследования свойств полноты и минимальности систем корневых функций дифференциальных операторов и разложимости функций в ряды по этим системам, и в настоящее время эти задачи достаточно полно изучены.
В 1975 г. В.А. Ильин опубликовал две работы [4, 5], заложившие основу нового метода исследования свойств собственных и присоединенных функций как самосопряженных, так и несамосопряжеипых дифференциальных операторов (модификация спектрального метода Ильина [6], разработанного для исследования самосопряженных эллиптических операторов).

•СО" '
Введение
Эти работы посвящены вопросам локальной базисности подсистемы корневых функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов и вопросам равносходимости разложений. Новый подход заключался в отказе от рассмотрения конкретных краевых форм оператора. Заменяли их конструктивные и легко проверяемые условия на собственные значения и системы корневых функций, т.е. рассматриваются некоторые сужения максимального оператора.
В дальнейшем В.А. Ильиным и его учениками метод был применен к широкому классу неисследованных ранее обыкновенных и эллиптических операторов, спектральные задачи для которых содержали линейно собственные значения. Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности в Ь2(0,1) систем корневых функций, локальной базисности и локальной равносходимости биортогональных разложений функций с ТРФ, равносходимости этих разложений на всем отрезке.
В основе метода лежит рассмотрение обобщенных корневых функций оператора, являющихся только регулярными решениями соответствующего дифференциального уравнения со спектральным параметром. Идея такого подхода восходит к А.Н. Тихонову. Используются интегральные представления (формулы среднего значения) для решений этого уравнения. В случае исследования равносходимости разложений, из ядра Дирихле выделяется спектральная функция оператора и далее проводится эффективная оценка остатка с использованием априорных оценок корневых функций. Ниже приведены формулировки результатов, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации.
При использовании рядов Фурье но системам корневых функций дифференциальных операторов, наряду с вопросами о полноте и базисности этих систем в соответствующих функциональных пространствах возникает задача об оценке скорости сходимости этих рядов к рассматриваемым функциям. Хорошо известны результаты о порядке приближения широких классов функций ортогональными рядами (см., например, Г. Алексин [9], С.М. Никольский [10], С.Б. Стечкии [11], С.А. Теляковский [12]). Менее изучены в этом отношении биортогональные ряды, каковыми в основном являются ряды по системам корневых функций несамосолряженных дифференциальных операторов. Наиболее естественный путь

Глава. 1. Формулы сдвига.
и (у-г)

е~иХг+

J а0{х)е~~“
А(х—у+г)
Е(-!>

‘{х~1+г)1р‘тй1(Х)

Складывая два последних выражения, можно получить формулу среднего значения для корневых функций оператора первого порядка:
2_1(и (у - г)+ и {у + г)) = 2_1г(гг (у))
= сЬо;Лг
12 *

(20!
/1 и
(у) + ьЪиХг У
гы+1

J а0(х)К°(Г

и (2г+1)!
I (г - *)' „( ™г‘
р и (X)

где Ь=х- 2/|, ОТ = няп(х - 2/), К°(г, г) = аг ехр {-оциЦЬ - г)).