Исследование устойчивости систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом по первому приближению

• Автор: Быкова, Алевтина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 117 с. : ил

Содержание
Введение

Глава 1. Устойчивость нелинейных систем с отклоняющимся

аргументом
1.1. Основные понятия теории устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

1.2. Математические модели экологии

1.3. Устойчивость по части переменных нелинейной системы с запаздыванием

1.4. Нелинейная система функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием

Выводы

Глава 2. Критерии устойчивости систем второго порядка с

приложениями к задачам экологии и физики
2.1. Математические модели конкурирующих видов и сообществ типа хищник-жертва
2.2. О применении метода Ляпунова к задаче хищник-жертва
2.3. Критерий устойчивости квазиполиномов
2.4. Исследование системы типа хищник - жертва
2.5. О движении корней квазиполинома второго порядка и устойчивость нетривиального положения равновесия системы хищник-жертва
2.6. Устойчивость положений равновесия двух конкурирующих видов
2.7. Математические модели, описывающие процессы внутри камеры сгорания и в трубопроводе
2.8. Исследование устойчивости первой и второй моделей
Выводы
Заключение
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. Настоящая диссертация посвящена вопросам устойчивости по первому приближению решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся ар1ументом. Дифференциальным уравнением с отклоняющимся (ДУОА) называется уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят при различных значениях аргумента [34].
Отдельные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом встречались еще в работах Л. Эйлера в связи с решением геометрических задач [49,68]. В основном изучались дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (ДУЗА), описывающие процессы с последействием. Почти все ранние работы были посвящены изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями вида
и лишь в немногих статьях изучались весьма специальные типы линейных дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием, связанные с какими-либо конкретными геометрическими или механическими задачами. Со статьи Э. Шмидта [81] начинается значительное продвижение теории линейных дифференциально-разностных уравнений. Некоторые результаты, касающиеся свойств решений уравнений вида (0.0.1), но уже с переменными коэффициентами а|=а{(?) (в основном, поведение решений при г1—» оо), встречаются в упомянутой выше статье Э. Шмидта, а далее - в статьях Е. Райта
Систематическое изучение ДУОА началось лишь в XX веке в связи с потребностями прикладных наук и в первую очередь - теории автоматического регулирования. Теория автоматического регулирования, теория колебаний, процессы в реактивных двигателях, некоторые вопросы теоретической физики, ряд задач экономики и планирования, влияние на организм различных

(0.0.1)
<7=0 р=
[83,84].
излучений, законы распространения эпидемий, описание моделей биологических сообществ - это неполный перечень областей приложения ДУОА [7, 18, 19, 20, 48, 50, 65, 69, 77, 78] .
Изучением дифференциальных уравнений с запаздыванием занимается Пермская школа под руководством профессора Н.В. Азбелева. Работы
Н.В. Азбелева, Л.Ф. Рахматуллиной и их учеников посвящены обоснованию качественных и приближенных методов в теории и практике краевых задач. Исследуются теоретические вопросы, развивающие методы качественного анализа уравнений [2,3,4,47,52].
Начиная с работ А. Д. Мышкиса [ 32,35], В. И. Зубова [12], H.H. Красовского [27], в нашей стране стала разрабатываться общая теория ДУЗА. Наиболее изучены линейные уравнения постоянными коэффициентами и отклонениями. Для систем с переменными коэффициентами, особенно с переменными отклонениями, получены отдельные результаты. В работах В.Б. Колмановскго и В.Р. Носова, H.H. Красовского, С.Н. Шиманова доказана возможность исследования на устойчивость тривиального решения стационарных в первом приближении уравнений в некритических случаях.
Сформулируем некоторые положения этой теории для уравнений первого порядка
п_] со
*/ (о = Z J ■хР s)drp (*>s)+fi со»*=°л>—> п -1.

При весьма широких допущениях на ядра г'р [35] методом последовательных приближений доказаны существование и единственность на интервале (70 ,Т) решения Xj (t) системы с распределенным запаздыванием и приведен общий вид решения. Также доказана теорема о непрерывной зависимости решения от правых частей и от начальных данных. В теории устойчивости ДУОА наиболее изучены стационарные системы и системы, близкие к ним. В работах [40, 41, 42, 62, 83] доказано, что линейные уравнения вида (0.0.1) с постоянными отклонениями аргументов имеют лишь асимптотически устойчивые решения

y(t)=y/(a)C2(cr,t)+ { y/(r})dr]R4(s,ri-sY:2(t,s)ds +

+ J
t f 0 0 A
+ Jc2(^,5)7 s, |dsR2{t,s)x(t + s), + s)
8 V -h -h J

Согласно условиям (1.4.3)-(1.4.7) и лемме Гронуолла-Беллмана получим оценку на y{t)- Доказательство теоремы завершается аналогично доказательству теоремы 1.3.1.
Итак, при любом t > выполняются неравенства:
И4й^е~Го*>Н*}й£е /
Теорема доказана.
Замечание. Пусть матрица R2{t,s) удовлетворяет 5- условию и усло-

ВИЮР! = vrai suppx(t,t< 0 Jfc=
верхняя грань берется по всевозможным разбиениям 0 = s0 < 5] <... < sm — s
отрезка [0,5]. Пусть далее выполняются оценки (1.4.2) и (1.4.4). Предположим
также, что выполнено неравенство = СС — р^еа NL > 0. Тогда для всех решений первого уравнения системы (1.4.1) справедлива оценка \x(t)