Развитие метода регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений Вольтерра с произвольным вырождением ядра

• Автор: Шапошникова, Дарья Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава I. Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра

§1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Регуляризация и формализм метода

§ 1.3. Решение итерационных задач

Глава II. Построение регуляризованной асимптотики

решения сингулярно возмущенного уравнения Вольтерра 2-го рода в случае невырожденного

ядра (п = 1)

§2.1. Регуляризация задачи (2.1.2). Построение асимптотического решения

§ 2.2. Решение итерационных задач (2.1.8і),..., (2.1.8*;)

и оценка их решений
§ 2.3. Оценка остаточного члена. Предельный переход
при є —> +
§2.4. Построение асимптотических и точных решений
уравнения Вольтерра
Глава III. Решение сингулярно возмущенного
интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода с вырождением ядра 1-го порядка
и его свойства
§3.1. Регуляризация задачи. Построение формального
асимптотического решения
§3.2. Решения итерационных задач и предельный переход
в задаче (3.1.1)

Глава IV. Задача инициализации сингулярно
возмущенного интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода с диагональным вырождением в случае п >
§4.1. Структура проекторов Р,(£)
§4.2. Вычисление слагаемых итерационных уравнений
§4.3. Решение задачи инициализации
Литература

ВВЕДЕНИЕ
В данной диссертации проводится асимптотический анализ сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода при стремлении малого параметра, входящего в уравнение, к нулю.
Асимптотический анализ помогает исследователю выявить существенные особенности изучаемой проблемы. При описании того или иного физического процесса специалист оценивает, влиянием каких параметров можно пренебречь, не теряя ценной информации об основных закономерностях изучаемого процесса.
Еще в начале XX века JI. Прандтль в работе [87] обращал внимание, что при изучении уравнения пограничного слоя малой вязкостью следует пренебрегать не в уравнениях, а в решении.
Основное внимание к проблематике сингулярных возмущений было привлечено работами А.Н. Тихонова в конце сороковых годов прошлого века [102,103].
К пятидесятым годам прошлого века на основе различных методов асимптотического интегрирования сформировались следующие математические школы: М.И.Вишика — A.A. Люстерника [19,20],
H.H. Боголюбова — М.Н. Крылова — Ю.А. Митропольского [2,53,73— 75], Л.С. Понтрягина — Н.Х. Розова — Е.Ф. Мищенко [76,77,82—84],
A.Б. Васильевой — В.Ф. Бутузова — H.H. Нефедова [9,10,14—18],
B.П. Маслова — М.В. Федорюка [69—71], А.М. Ильина [41—42], С.А. Ломова [57-66].
Следует отметить, что регулярная теория возмущений окончательно была оформлена в трудах А. Пуанкаре [88]. Важная роль в ее развитии принадлежит А.М. Ляпунову [67]. Дальнейшее развитие она получила в работах Т. Като, К. Фридрихса, М. Рида и Б. Саймона [47].
Сингулярно возмущенные задачи так же являлись объектом изучения многочисленных математических школ. Каждая школа предлагает свою теорию по решению сингулярно возмущенных задач. Метод усреднения разработан школой H.H. Боголюбова — М.Н. Крылова —

є-п+1+1 .
Г г, (.Л дг-п+і{і,т)
Ьо^-п+1+1[^,Т)

+ —1 )кТк{^)^-п+1-к^1 г),

(1.2.4_п+;+х)

к ^—П+1+
(О, 0) = Н1+1, I = 0,п — 2
Г г? (. _л зг^т)
Ь0Л0(І,Т)

(1.2.40)

^о(0,0) = 0;
и так далее.
Каждую из итерационных задач можно записать в виде
ь0г{г,т) = Н(Ь, т)
(1.2.5)

а) Ьо = - Л<(*)) — • +Т(і)П0(і)>
г=1 “ ''

б) Я(І,Т) = ^/їг(і)еТі + Ло(0,

л(0 = $>(*)Я(*), = МОД(*), /?(*) = Ж*),

Рг(^)Р](Ь) = 0, г ф ].
Спектральное разложение оператора Ьо равно:

ь0 = о • %) + Х^(а^) - г(і))Рк(і)— + т(г)п0(г),
і ? / • (УТі
г=1 кфх

р0(і) = ^т

проектор на ядро оператора .