Интегрирующие множители динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством

• Автор: Мулько, Алексей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 144 с.

Содержание
Введение

1 Однозначные интегрирующие множители

1.1. Свойства интегрирующих множителей вблизи замкнутых траекторий

1.2. Интегрирующие множители и циклы второго рода

1.3. Нормированные интегралы вблизи сепаратрисы простого седла

1.4. Об условиях отсутствия предельных циклов

2 Многозначные интегрирующие множители и циклы на ци линдре

2.1. Канонический интегрирующий множитель

2.2. Канонический интегрирующий множитель и циклы на цилиндре

3 Интегрирующие множители типа Дарбу полуалгебраиче-

ских систем
3.1. Свойства интегрирующего множителя типа Дарбу
3.2. Интегрирующие множители типа Дарбу и периодические движения на цилиндре
3.3. Полуалгебраические системы с интегрирующим множителем
М = Список литературы

Введение
Актуальность темы. Аппарат первых интегралов эффективно использовался для решения различных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Основы этого метода заложены в трудах А. Пуанкаре [64], А.М. Ляпунова [59], А. Дюлака [50], где исследовалась аналитическая структура первых интегралов и{х, у) = с вблизи состояний равновесия системы. В классической постановке задачи предполагается однозначность функций и(х,у) в рассматриваемой области. Однако сушесгвование асимптотически устойчивых состояний равновесия и асимптотически устойчивых орбит ведет к тому, что первый интеграл не является однозначной функцией на всем фазовом пространстве.
В частности, в работах [51], [52] К.Л. Зигелем показано, что в общем случае не существует всюду однозначных голоморфных интегралов. При некоторых ограничениях на нули и полюсы мероморфных функций в [74] доказан факт существования многозначных первых интегралов, аналитически продолжаемых почти на все (га+1)-мерное комплексное пространство к ("+1). При этом характер ветвления интегралов не исследуется, и не изучаются особые точки этих функций.
Н.Ф. Отроков рассмотрел нормированный первый интеграл двумерной автономной системы аналитического класса и изучил его свойства в окрестности периодического движения £ [61]. При этом доказано, что характер ветвления нормированного интеграла при обходе по циклу I или любой замкнутой кривой индекса +1, лежащей в окрестности £, представляет со-

бой функцию последования, то есть определяет преобразование монодро-мии. При этом рассмотрение ведется в некоторой окрестности цикла £.
При глобальном изучении многозначных первых интегралов М.В. Долов выделил классы так называемых канонических и квазиканонических первых интегралов двумерных аналитических систем. По определению такие интегралы при аналитическом продолжении вдоль замкнутой кривой, в общем случае не являющейся инвариантным множеством динамической системы, восстанавливаются с точностью до мультипликативной постоянной. В [22] найдены условия существования таких интегралов и установлена связь их свойств с топологической структурой фазовых кривых на плоскости. При этом значительное внимание уделялось двумерным системам с полиномиальными правыми частями. Доказано, что интегралы Дарбу [71]
где - многочлены по х, у; - константы, а также обобщенные интегралы Дарбу
где функция I/ имеет вид (1), Ф^- - многочлены вещественных переменных х,у, коэффициенты которых, как и величины /Зу, в общем случае комплексные, и такие, что между Г и и нет функциональной зависимости, являются частным случаем канонических и квазиканонических интегралов. С помощью этих результатов решена проблема Н.П. Еругина о существовании полиномиальных систем дифференциальных уравнений, имеющих одновременно особую точку центр в смысле Пуанкаре и предельные циклы. Построен контрпример к гипотезе К.С. Сибирского о всюду плотности множества систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями с интегралами Дарбу в .множестве полиномиальнх динамических систем с центром в смысле Пуанкаре, а также изучены некоторые вопросы
Т[х,у) = ф£ф£...ф£ = с

в{х, у) = Г(х, у) ехр и(х, у)

Теорема 1.30 [44]. Пусть система (1.1) из И (В) имеет периодическое движение £ второго рода, для которого h ф 0. Тогда существует z = 1(х,у). При этом 1) если функция 1{х,у) регулярна на £, то I(x,y) = b Fs(x,y;£), где b = const, s - натуральное число; 2) если 1(х,у) сингулярна паї, то 1{х,у) = F0!(x,y,£)V(nF(x,y,£)), где а - вещественное число, функция V(и) регулярна на всей действительной оси и = In F и имеет период h.
Теорема 1.31 [44]. Если £ является изолированным периодическим движением второго рода кратности 2 ^ р < +оо, то в некоторой области, одной из границ которой служит I, существует квазиканони-ческий интеграл. В частности, если к = е, то
где а - действительное число, функция !?(/) аналитическая при 0 < / < 5 (—(5 < / < 0) и разлагается в асимптотический степенной ряд
Обозначим через 5+, <5 полуокрестности периодического движения второго рода £ - области, примыкающие к I и обладающие свойством 5+ и5_ У
Используя аппарат канонических и квазиканонических первых интегралов, соответствующих периодическому движению второго рода £, показывается, что в полуокрестностях 5+ и изолированного периодического движения второго рода всегда существуют 27г-периодические по х интегрирующие множители.
Теорема 1.32 [75]. Пусть система (1.1) из Аж имеет предельный цикл второго рода £ кратности р (1 < р < +оо,). Тогда (1.1) допускает 2тг-периодические по х интегрирующие множители М(х,у), М*(х,у),

(1.42)
D{f) ~ А0 — Aif + ..., А0 Ф 0, / —» 0.
(1.43)
Є= S(£),S+nS- = 0.