Исследование специальных однородных интегральных уравнений второго рода в пространстве счетно-аддитивных функций множества

• Автор: Мучник, Владимир Лазаревич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 125 c. : ил

ГЛАВА I. ОДНОРОДНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО РОДА

С ЭРГОДИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ

X .1. Эргодический линейный интегральный оператор в пространстве счетно-аддитивных функций множества

1.2. Достаточный признак эргодичности интегрального оператора

1.3. Ядерные функции

1.4. Достаточный признак эргодичности интегрального оператора специального вида

1.5. Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения однородного интегрального уравнения второго рода
ГЛАВА 2. СВБЩЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ОДНОРОДНОМУ' ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ВТОРОГО РОДА
2.1. Специальная система интегральных уравнений относительно счетно-аддитивных функций множества
2.2. Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения специальной системы интегральных уравнений

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,

ВОЗНИКАЩЕЙ В ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ... '70
3.1. Счетная система интегральных уравнений, возникающая в теории массового обслуживания
3.2. Теорема существования и единственности неотри-

дательного нормированного решения рассматриваемой счетной системы интегральных уравнений
3.3. Счетная система интегральных уравнений относительно плотностей
3.4. Примеры
3.5. Одно семейство функционалов на решениях рассматриваемой счетной системы интегральных уравнений
3.6. Примеры
3 а кл ю ч е ни е
Л и т ер а т ур а

Теория линейных интегральных уравнении в пространстве счетно-аддитивных функций множества разработана не так систематически, и детально, как, например, теория Фредгольма. Между тем такие уравнения возникают в приложениях, и тогда сказывается вышеупомянутое отсутствие систематичности и детальности теории. В частности, сказывается отсутствие готовых теорем существования и единственности решения. Такая ситуация, возможно, объясняется трудностью применения общих критериев компактности множества и компактности оператора в пространстве счетно-ацдитивных функций множества. Эта трудность вызвана, главным образом, несепарабельностью указанного пространства и отсутствием для него удовлетворительного описания сопряженного пространства.
Таким образом, проблема расширения класса исследованных интегральных уравнений в пространстве счетно-аддитивных функций представляется актуальной.
В диссертации рассматриваются следующие интегральные уравнения.
Пусть и - топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, и пусть £ - борелевская &-алгебра в пространстве . Введем в рассмотрение пространство са(^С)[1, с.262] всех вещественных счетно-аддитивных функций множества, заданных на X и имеющих конечную полную вариацию. Обозначим через 1¥1(Д) полную вариацию функции ЧьсоЛ^И) на множестве • Формулой )
определим норму в пространстве с&(^£). С такой нормой

Итак, условия (l) — O'u) п.1.1 справедливы для ядра К(А}г) вида /2.5/, следовательно, по лемме I.I.I и по лемме 2.2.1 оператор U вида /2.4/ является линейным непрерывным оператором, ото-бражакщим пространство ca(XZ) в себя, в
В пространстве са.СГ,Е) рассмотрим однородное интегральное уравнение второго рода
ч-Lfo-o, £?£ССX,(£Z). /2.9
с интегральным оператором JJ вида /1.1/.
Определение 2.2.1. Система уравнений /2.1/ называется эквивалентной уравнению /2.9/, если выполняются два условия:
- из того, что последовательность функций £z),
удовлетворяет условию ^ //|l / системы уравнений /2.1/, следует, что функция множества со
/2.10
является решением уравнения /2.9/;
- ИЗ ТОГО, ЧТО функция <^СО, (/Г}£) является решением уравнения/2.9/ следует, что Функции , Ц/г. являются
решением системы уравнений /2.1/.
Леша 2.2.3. Если ядра К* (A ft) , i=0,ir.. *4=0,1,... удовлетворяют всем условиям (k) — (kick) , то система уравнений /2.1/ с интегральными операторами {Jвида /2.2/ эквивалентна уравнению /2.9/ с интегральным оператором U вида /1.1/, имеюцим ядро вида /2.5/.
Доказательство. Пусть сначала последовательность функций V СА (£,£%) • т-=0,1у.. . для которой f I/ ^11^ <О0 , является
решением системы /2.1/. Тогда функция*'?? вида /2.10/ является элементом пространства cclC^Z") и в силу /2.2/. справедливы равенства
оо со оо „
I ) К.чМПЗ:,t)Vq't)
£=0 6=0 “2=0