Динамика и геометрия квадратичных отображений

• Автор: Тиморин, Владлен Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 227 с. : ил.

Содержание

Глава 1. Динамика

1.1. Обзор результатов: хирургия и полусопряжения

1.2. Полусопряжения разрезанных исгиперболических функций с гиперболическими критически конечными функциями
1.3. Переклейки рациональных функций на границах гиперболических компонент в Регь(0)

1.4. Граница компоненты типа В в пространстве Рег^^О)

Глава 2. Геометрия

2.1. Отображения, переводящие прямые в окружности или коники:

обзор

2.2. Комплексные окружности и закругрсния

2.3. Отображения, переводящие прямые в окружности, в размерности 4

2.4. Планаризации и линейные паутины коник
2.5. Выпрямляемые пучки копик
Приложение А
Приложение Б
Литература

Введение
В настоящей работе изучаются квадратичные отображения с динамической и геометрической точек зрения Квадратичное отображение из МР” в М.Рт или из СРп в СРт — это отображение, заданное в однородных координатах однородными квадратичными формами.
С динамической точки зрения мы будем рассматривать квадратичные рациональные отображения сферы Римана в себя, то есть ограничимся случаем т — п= 1. Изучение таких отображений было инициировано французскими математиками Фату и Жюлиа в первой половине 20-го века. Их результаты были основаны на аналитической технике Монтеля, разработанной незадолго до этого. Однако качественный прорыв в этой обрасти произошел в 1980-ых, когда появилась возможность компьютерной визуализации одномерных комплексных динамических систем. Интерес к этим системам возобновился благодаря методу Ньютона Это метод приближенного решения алгебраических уравнений, который сходится очень быстро, если первое приближение выбрано достаточно удачно. Возник вопрос: как зависит работа метода Ньютона от выбора первого приближения. С целью исследования этого вопроса были получены первые компьютерные картинки динамической плоскости, изображающие множество Жюлиа и множество Фату
В работах Дуади и Хаббарда были заложены основы современной одномерной комплексной динамики. При этом они (вполне обоснованно) ограничились рассмотрением лишь рациональных отображений степени два, а большинство результатов было получено даже для более конкретного семейства квадратных многочленов /(г) = г2 + с. Даже про это семейство остаются важные нерешенные вопросы Под влиянием Дуади и Хаббарда, многие замечательные математики стали заниматься одномерной комплексной динамикой, и принесли в нес методы топологии и квазиконформного анализа. Стоит

упомянуть работы Терстона, Салливана, Милпора, Любича, Рис.
В настоящий момент динамика многочленов изучена намного лучше, чем динамика рациональных функций. Это связано в первую очередь с тем, что комбинаторные вопросы про многочлены оказываются гораздо проще. Комбинаторная техника паззлов Иоккоза свела многие динамические вопросы к вопросам анализа. К сожалению, подобная комбинаторная техника для случая рациональных функций пока не создана. Поэтому важной задачей представляется задача разработки общих методов построения топологических моделей для рациональных функций (топологичекие модели многочленов с достаточно простой динамикой могут быть получены при помощи ламинаций Терстона), а также идентификации различных динамически важных частей сферы Римана (в случае многочленов, эту задачу решают паззлы Иоккоза). Разработке таких методов посвящена часть настоящей диссертации. А именно, определена весьма общая хирургическая операция, позволяющая в некотором смысле отображать динамику сложных рациональных функций в динамику простых рациональных функций. Разобрано несколько конкретных примеров, в которых полученная техника позволяет как строить топологические модели, так и выделять динамически значимые части.
Вторая часть диссертации посвящена геометрии квадратичных отображений. При этом рассматриваются более высокие размерности. Эта часть имеет еще более давнюю историю. В фундаментальной работе Мебиуса (1827) были заложены основы проективной и конформной геометрий. При этом исследовались те преобразования, которые сохраняют ту или иную геометрическую структуру. Например, Мебиус ввел коллинеации (т.е. непрерывные отображения, переводящие прямые в прямые) и преобразования Мебиуса (т.е. непрерывные отображения, переводящие прямые в окружности). Другими словами, коллинеации сохраняют проективную структуру, а преобразования Мебиуса сохраняют сферическую структуру. Возникает вопрос о том, какие
ограничениями этих отображений на множество X — Рр (измеренное относительно метрики д па пространстве У). Нетрудно убедиться в том, что расстояние между любыми двумя элементами пространство С (О) конечно (т.е. корректно определено). Соответствующая проверка использует пункт 4 определения пространства С(0): в окресности множества Рр, отображения X и X* пропорциональны с точностью до членов второго порядка малости и выше.
Обозначим через У подпространство У — Я~1(Рр) пространства У. Тогда отображение Я : У —> У является собственным отображением. Кроме того, оно является равномерным растяжением с коэффициентом растяжения Е. Поскольку отображение Я является собственным отображением, а также локальным гомеоморфизмом, оно удовлетворяет свойству однозначного поднятия путей. Это соображение является ключевым при доказательстве следующей леммы:
Лемма 1.2.7. Пусть 7 : [0,1] —>- С(0) — непрерывный путь, ах о £ С(О) — отобраэ/сеиие, такое, что Яох0 = 7(0)0К. Тогда существует единственный непрерывный путь 7 : [0,1] —э С(О) со следующими свойствами: 7(0) = х(0) и Я о 7(£) = 7(4) о У для всех £ е [0,1]
Путь 7 мы будем называть поднятием пути
Доказательство. Для всякого £, рассмотрим ограничение отображения 7(2) на множество X — Рр. Таким образом, мы получаем путь 7* : [0,1] —> С(Х — Рр,У).
Рассмотрим отображение
д -.с(х- к-Чрду) -э с(х - р-рР),у),
заданное формулой Я{х) = Д°х Отображение Я : У —» У является собственным и растягивающим, а пространство X — Е~1(Рр) является локально компактным (как дополнение к конечному множеству точек в ком-