Вопросы разложения по собственным функциям несамосопряженных операторов и краевых задач

• Автор: Степин, Станислав Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 243 с.

Содержание
Введение

1. Обзор литературы, связанной с темой исследования .

2. Постановки задач и основные результаты работы . .

1. О спектральных свойствах краевой задачи для уравнения Рэлея с ” плавающей” сингулярностью

§ 1.1. Краевая задача для уравнения Рэлея и ее операторная

формулировка

§1.2. Условия конечности точечного спектра в несамосопряженной модели Фридрихса

§1.3. О множестве собственных значений краевой задачи

для уравнения с плавающей сингулярностью

§ 1.4. Оценка резольвенты вблизи собственных значений, принадлежащих непрерывному спектру
Приложение к §1.4. О гельдеровской гладкости интегрального ядра резольвенты
2. Разложение по собственным функциям непрерывного и точечного спектра задачи Рэлея
§2.1. Волновые операторы преобразования в несамосопряженной модели Фридрихса
§ 2.2. Разложение по собственным и присоединенным функциям в случае отделимости спектральных компонент

§ 2.3. Собственные значения на непрерывном спектре: теорема о регуляризованном разложении по собственным
функциям
§ 2.4. Асимптотика по времени решений нестационарного
уравнения Рэлея
§ 2.5. О задаче рассеяния для одного класса операторов несамосопряженной модели Фридрихса
3. О собственных значениях и степени неортогональности корневых систем сингулярно возмущенных операторов
и краевых задач
§ 3.1. Локализация собственных значений краевой задачи для
уравнения Эйри
§3.2. Асимптотическое поведение функции Грина (резольвентная сходимость)
§ 3.3. О показателе неортогональности корневой системы краевой задачи для уравнения Эйри
§3.4. Несамосопряженные сингулярные возмущения и резольвентная сходимость
§ 3.5. О задаче Штурма-Лиувилля с малым параметром при
второй производной
4. Приложения к спектральным краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений
§4.1. Об области, асимптотически свободной от собственных значений задачи Орра-Зоммерфельда
Приложение к § 4.1. Асимптотические формулы для решений
сингулярно возмущенного уравнения Рэлея
§ 4.2. Оценка числа обусловленности системы собственных и присоединенных функций краевой задачи Орра-Зоммерфельда

§ 4.3. Степень неортогональности собственных функций
краевой задачи из магнитной гидродинамики
§ 4.4. О базисности Рисса канонических подсистем собственных функций краевой задачи из динамики атмосферы
Примечания
Список литературы

§ 1.2. Условия конечности точечного спектра в несамосопряженной модели Фридрихса
Как уже отмечалось, спектральные свойства операторов модели Фридрихса зависят от степени гельдеровской гладкости ядра V оператора возмущения. В этих терминах границей конечности точечного спектра в самосопряженном случае служит (см.[78, 29]) показатель гельдерово-сти 1/2. В несамосопряженном случае даже при условии бесконечной дифференцируемости ядра V может происходить сгущение собственных значений к непрерывному спектру; в [71] построен соответствующий пример и исследована структура множества точек накопления собственных значений.
В настоящем параграфе вопрос о конечности точечного спектра для операторов модели Фридрихса исследуется с помощью подхода, основанного на включении оператора в подходящее голоморфное семейство. В следующем параграфе этот подход будет использован для доказательства конечности множества собственных значений краевой задачи (2)-(3).
В пространстве 1^(0 рассматривается однопараметрическое семейство операторов модели Фридрихса Н(а) = Яо+К(а), где V(а) — интегральный оператор с ядром и(и/,и>',а), а а— комплексный параметр; предполагается, что
при каждом фиксированном а ядро V : / X I —> С обращается в нуль на границе квадрата 1x1 и для некоторого /3 > О
|И<*)||/? := эир |К-,о/, ог)||/» + вир •, <г)||д < оо . (*)
ы'£/ Ш&
В дальнейшем зависимость от параметра а подразумевается и указывается в обозначениях лишь там, где она по существу.
Задача отыскания собственных значений оператора Н = Но + V, лежащих вне /, сводится к вопросу о разрешимости в классе // > О,