Принцип Дирихле для B-гармонического и B-полигармонического уравнений и для задачи о собственных значениях сингулярного дифференциального оператора

• Автор: Рогова, Наталия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 95 с.

* Введение

Глава 1. Функциональные пространства и теоремы вложения

§1.1. Теоремы вложения и некоторые следствия

§1.2. Обобщение результатов

Глава 2. Задача Дирихле

§2.1. Постановка задачи

§2.2. Решение вариационной задачи

§2.3. Решение сингулярной задачи Дирихле с оператором Дд

§2.4. Единственность решения сингулярной задачи Дирихле

§2.5. Случай нескольких сингулярных переменных

§2.6. В - полигармоническое уравнение
§2.7. Решение основной краевой задачи для уравнения А^и
Глава 3. Задача Неймана
§3.1. Постановка задачи
§3.2. Решение вариационной задачи
§3.3. Задача Неймана
V Глава 4. Задача о собственных значениях
§4.1. Постановка задачи
§4.2. Предварительные неравенства
§4.3. Существование первой собственной функции
§4.4. Существование следующих собственных функций
§4.5. Неубывание последовательности собственных значений
§4.6. Замкнутость множества собственных функций
Список литературы

v В ряде работ академика С.Л. Соболева, выполненных 40-х годах 20-го
века, заложены основы применения функционального анализа в задачах для дифференциальных уравнений в частных производных и в математической физике. Эти исследования (объединены в его книге "Некоторые применения функционального анализа в математической физике", вышедшей в 1950 г., а переработанные и дополненные вышли в 1988 г.) послужи-ли отправным пунктом многочисленных исследований дифференциальных уравнений, функциональных пространств и привели к созданию современного функционального анализа, подходов и методов для его применения в теории уравнений в частных производных. Важнейшую роль в этих исследованиях играют теория обобщенных функций, теоремы вложения функциональных пространств и теоремы о следах функций. Дальнейшее развитие заложенной С.Л. Соболевым методики исследования задач теории дифференциальных уравнений связано с широким использованием операционного исчисления Фурье обобщенных функций, созданное Л. Швар-цем в 50-х годах и теории функциональных пространств дробной глад-v кости (типа пространств Соболева-Слободецкого). Первые окончательные
результаты по проблеме следов функций из пространств С.Л. Соболева были получены Н. Ароншайном [1] и независимо от него Б.М. Бабичем, Л.Н. Слободецким [2, 45], Г. Фройдом и Д. Краликом [48]. Л.Н. Слободецким построена полная теория анизотропных пространств с целыми и дробными показателями. Большой вклад в теорию вложения пространств внесли О.В. Бесов [4], В.И. Буренков, В.П. Ильин [11, 12], П.И. Лизоркин [25, 26], С.М. Никольский, С.В. Успенский и др.
Ясно, что идеи применения теорем вложения и теорем о следах для

развития вариационных методов в задачах для сингулярных дифферен-циальных уравнений позволят открыть новые подходы к исследованию их к решений и являются в современном естествознании весьма актуальными.
Исследованию сингулярных эллиптических уравнений с оператором Бесселя В = -^2 + (7 > 0) посвящено много исследований как в нашей
стране, так и за рубежом. Эти исследования вызывают большой интерес в связи с проблемой нахождения осесимметрического решения гармоничес-* кого уравнения. Теория таких уравнений, известная как обобщенная осе4 симметрическая теория потенциала, развита американским математиком
А. Ванштейном и его школой. В частности А.Ванштейном в 1942г. (в двумерном случае) построено фундаментальное решение уравнения А в и = 0, Дв = Ах' + + А- (7 > 0). М.Н. Олевским в 1949 г. получено фундаментальное решение в многомерном случае в терминах гипергеометричес-ких функций, при условии, что индекс 7 ф 2,3,4,
Принцип Дирихле для уравнения Дди = 0 в полупространстве изучался П.И. Лизоркиным. Он же впервые построил функцию Грина для краевой задачи с оператором Бесселя, используя результаты А. Ванштейна и рассмотрел некоторые вариационные задачи. Среди исследователей сингу-*■ лярных задач с оператором Бесселя такие известные математики как Я.И.
Житомирский [10], Л.Д. Кудрявцев [22, 23], Б.М. Левитан [24], Л.Г. Михайлов, С.А. Терсенов.
Значительный вклад в исследование сингулярных дифференциальных уравнений внес И.А. Киприянов [17] -[20]. Им построены весовые аналоги анизотропных пространств Соболева-Слободецкого (1967 г.), при этом он показал, что в задачах с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя и оператором вида —§— смешанное преобразование Фурье-Бесселя
ХпОХп

которой
А;->оо
Иш Ф7Ю = (1.
Теорема 2.5. Минимизирующая последовательность {иД сходится в предельная функция принадлежит и дает функционалу Ф7(и) (2.31) наименьшее значение среди всех таких функций.
Доказательство проводится аналогично теореме 2.1. Норма в Нг217(^+) определяется формулой
Доказательство проводится аналогично теореме 2.2 с помощью обобщенного сдвига
(2.32)
Теорема 2.6.Функция г»о, дающая минимум решение сингулярной задачи Дирихле, то есть
есть
«оЬ = Ч> е