Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа

• Автор: Рузакова, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 110 с.

Обозначения и соглашения

1 Полугруппы и группы уравнений

соболевского типа

1.1 Относительные резольвенты

1.2 Относительно спектрально ограниченный оператор

1.3 Относительно р-радиальный оператор

1.4 Функциональные пространства и дифференциальные

операторы

2 Бесконечномерная управляемость

уравнений соболевского типа '

2.1 Определение е-управляемости

2.2 Критерии е-управляемости невырожденной системы
2.3 Критерии е-управляемости вырожденной системы
2.4 Уравнение эволюции свободной поверхности
фильтрующейся жидкости
2.5 Начально-краевая задача для алгебродифференциальной системы уравнений
с частными производными
2.6 Определение точной управляемости
2.7 Необходимые условия точной управляемости
2.8 Точная управляемость системы
с переменным оператором управления

3 Конечномерная управляемость
уравнений соболевского типа
3.1 Конечномерная г-управляемость невырожденного уравнения
3.2 Конечномерная управляемость вырожденного уравнения
3.3 Конечномерная управляемость уравнения соболевского типа
3.4 Уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной
3.5 Нестационарная конечномерная управляемость
3.6 Начально-краевая задача для алгебродифференциальной системы уравнений
с частными производными
3.7 Уравнение с эллиптическим оператором высокого порядка
Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
1. Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами готического алфавита, кроме:
N — множество натуральных чисел;
N0 = N U {0};
R — множество действительных чисел;
R+ = {а € Ж.: а > 0};
R+ = R+ U {0};
С — множество комплексных чисел;
Lp(Cl) — пространства Лебега;
Wp(Ct) — пространства Соболева и т.д.
2. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского и греческого алфавитов, кроме операторов, которые обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
3. Область определения оператора А обозначается через dom Л, его ядро — через ker А, образ — через im А, линейная оболочка множества А — через spanA
4. Множества операторов обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:
£(А;2)) — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве X и действующих в пространство 2), £(£,:£) = £(£);

где £ е [Т,Т + 5]. Переходя к пределу при <5 —> 0+, имеем f(XтL^1QBu) = 0 для всех Т > 0, и € Я. Устремив Т —» 0+, получим /(Х0Ь11С}Ви) = 0. Значит, множество
зрап{1шХ Ь1 С^В, Т > 0}
не плотно в пространстве X1.
Обратно, пусть Брап{тХтЬ^С^В, Т > 0} не плотно в пространстве X1. Значит, существует функционал / 6 X* {0} такой, что /(Хт~8В11С2Ви) = 0 для всех Т > 0, 0 < 5 < Т, и 6 П. Откуда получаем, что при Т >
т / т
о = у /рг^в^двц«))^ = / (I х^в^Вгф)^ I
о о
для всех Г > 0. Поэтому множество векторов вида т
У Х^Ь^Ви^з, Т > 0, о
не является плотным в пространстве ЗЕ1. •
Лемма 2.2.2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда система (2.1.4) е-управляема за время Т в том и только в том случае, когда драп{1тХ5Ь^1(5В, 0 < в < Т} = X1.
Доказательство. Рассуждая как в предыдущей лемме, получим для фиксированного Т > 0 существование функционала / £ X* {0} такого, что т
0 =
У хт-зь^ви(8)д8 = у дх^двф))^,