Краевые задачи для смешанных уравнений, порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа

• Автор: Зайнулабидова, Заира Мансуровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 140 с.

Глава I. Исследование корректно поставленных задач в областях эллиптичности и гиперболичности

смешанной области

§ 1 Видоизмененная задача Коши

§ 2 Видоизмененная задача Хольмгрена

Глава II. Исследование корректно поставленных задач в

в смешанной области, когда точка пересечения линии вырождения 0(0,0) находится на границе области

§1. Задача Єї

§2. Задача бд

§3. Задача Єз

§4. Нелокальный вариант задачи

Глава III. Исследование корректно поставленных задач в

в смешанной области, когда точка пересечения линий
вырождений находится внутри области
§ 1. Основная краевая задача
§2. Простой вариант основной краевой задачи
§ 3. Нелокальный вариант основной краевой задачи
Литература

Хорошо известно, что теория уравнений смешанного типа, получившая интенсивное развитие за последние десятилетия, в силу ее связи с проблемами теории сингулярных уравнений, интегральных преобразований, специальных функций и прикладными задачами механики, математической физики, описываемых такими уравнениями,стала одной из важнейших разделов современной теории уравнений в частных производных.
Скорее всего на проблему уравнений смешанного типа впервые обратил внимание в 1902г. A.C. Чаплыгин в своей диссертации ’’О газовых струях” [37,38], который при математическом моделировании движения газа от дозвуковой к сверхзвуковой скорости получил уравнение смешанного типа, в последующем названное уравнением Чаплыгина
Однако систематическая разработка теории краевых задач для уравнений смешанного типа началась только в 20 - 30 годы прошлого столетия, с основополагающих результатов Трикоми [33,34] и Геллерстедта [8].
В последующем в развитии теории уравнений смешанного типа и их приложений существенную роль сыграли всемирно известные отечественные математики как Ф.И.Франкль, М.А.Лаврентьев, А.В.Бицадзе и их многочисленные ученики и сотрудники, чьи работы нашли отражение или ссылки в монографиях и учебных пособиях: А.В.Бицадзе [1,2,3] ,А.М.Нахушев [25,26,27], М.С.Салахитдинов [29], А.П.Солдатов [30], Е.И.Моисеев [24], М.М.Смирнов [31], Ю.М.Крикунов [22], Ф.И.Франкль
[35], Л.Берс [5].
В этих же работах отмечены основные результаты зарубежных исследований по проблемам уравнений смешанного типа и их приложений.
Как близкие к исследованиям предлагаемой диссертации и использованные при ее написании, следует отметить работу А.В.Бнцадзе [4], в которой впервые поднят вопрос о корректной постановке задач для смешанных уравнений с вырождением порядка па линии изменения типа , работу А.М.Нахушева [28], посвященная краевым задачам со смещением ,названные за рубежом задачами (проблемами) Нахушева [32], работы В.А.Елеева [10,11] и М.М.Зайнулабидова [12-10], посвященные исследованиям краевых задач для модельных уравнений смешанного типа с перпендикулярными линиями изменения при отсутствии вырождения порядка.
Естественно, в математической литературе имеются многочисленные работы, как отечественных так и зарубежных авторов, посвященных проблемам краевых задач для уравнений смешанного типа, само перечисление которых становится проблематичным, в связи с чем авто]) ограничивается ссылкой только на работы, имеющие то или иное отношение к полученным в диссертации результатам.
Настоящая диссертация посвящена постановке и доказательству теоремы существования и единственности решения локальных и нелокальных краевых задач для смешанных уравнений, порядок которых вырождается вдоль перпендикулярных линий изменения типа.
В качестве модельного рассматривается уравнение
. 2 71 -|- 1 2 2п тт / 2т ~ I' 1.0 2т тт / 2 Л “Ь 1 ч о 2 пт т
( 2 ) х У уу ( 2 ^ Х^хх + а( - ) х иу+
+Р(^~^)2у2тих = О, (I)
где п, гп - натуральные, а, /3 —- произвольные действительные числа, которое является аналогом уравнения, рассмотренного в [4] для случая вырождения порядка на одной линии изменения типа.
Для (2.41) при 0 < 27 < 1 элементарное (фундаментальное) решение было найдено еще Дарбу[9].
Пользуясь результатами Дарбу в последующем, сначала Хольмгрен
[36] и, затем Гсллерстедт[8] построили функцию Грина G1((,,z) задачи с краевыми условиями, вытекающими из (1.24), (1.25) для (2.41) с учетом осуществленной замены переменных.
Явное выражение этой функции Грина G7(£, z) можно найти, например, в монографии A.B. Бицадзе [3 с. 184].
Исходя из этого, без особого труда, можно выписать сначала фундаментальное решение (1.35) уравнения (1.1) и затем, соответствующая краевым условиям (1.24), (1.25) функцию Грина G7(C, z) = G7(£, у; x, у) задачи G для области По с нормальной дугой о : х 1 + г/2'5- = 1, когда О < 27 < 1. Она определяется равенством
z) = <77(С, z) - z 27g7(С, zz 2), 0 < 27 < 1, (2.42)
где (/-ДО г)—фундаментальное решение, определенное в (1.35), с постоянной а+ заданной формулой (1.46).
В силу (1.35), имеем
Из (2.43), учитывая известное равенство Г(а, Ь, с, 0) = 1, для затребованных в (2.39), (2.40) значений С7(£, г) получим равенства
Поэтому (2.42) можно переписать в виде
(2.43)
G7(£,0;х,0) = о+[|х2<5‘ - ^Ч“2' - |1 - х^Є6'~21]