Усреднение задач на тонких периодических структурах методом двухмасштабной сходимости

• Автор: Шумилова, Владлена Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 100 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА И ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В ПЕРЕМЕННЫХ СОБОЛЕВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

1Л. Сходимость в переменном пространстве ]} (П, с1/ин)

1.2. Аппроксимативные свойства для структур на плоскости

1.3. Аппроксимативные свойства для структур в пространстве

1.4. Предельный переход в переменных соболевских пространствах.

1.5. Компактность в пространстве £2(П, сі/и1’)

для структур на плоскости и в пространстве

ГЛАВА 2. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ

С ДВУМЯ МАЛЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

МЕТОДОМ ДВУХМАСШТАБНОЙ СХОДИМОСТИ
2.1. Метод двухмасштабной сходимости
2.2. Усреднение задач с двумя малыми параметрами
2.3. Усреднение задач для среды с двойной пористостью
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП КОМПАКТНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ df.il)
И ПОВЕДЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА
ПРИ УСРЕДНЕНИИ
3.1. Принцип компактности в переменном пространстве Т2(0,Д/^)..
3.2. Поведение спектра оператора при усреднении
ЛИТЕРАТУРА.

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В диссертации рассматривается усреднение задач на периодических тонких структурах методом двухмасштабной сходимости. Такая проблема возникает при исследовании разнообразных физических процессов в микронеоднородных средах.
Тонкая 1-периодическая структура F/’ характеризуется толщиной к>0 и при к —> 0 переходит в некоторую предельную структуру F с “нулевой толщиной”. Гомотетическое сжатие /у,! = сЕк, где Не) —>■ 0 при £—»0, дает £ -периодическую тонкую структуру с толщиной £/?(£•). Тонкие структуры удобно описывать как носители борелевых мер: на тонкой структуре F/! имеется периодическая мера рн, которая при /г —> 0 слабо сходится к мере /л, задающей предельную структуру F. Обычно мера //' абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, с1цн = р17(х)сЬс. Задачи усреднения на тонкой структуре Е/ связаны с мерой (1р) = р1'(£']х)с1х и их решения принадлежат “переменному” соболевскому пространству где О -
ограниченная липшицева область.
Теории усреднения посвящена огромная литература и несколько монографий (см. [2], [13], [27], [36]). Если с1цк =с1/и = сЬс есть мера Лебега, имеет место классическое усреднение (метод асимптотических разложений
Н.С. Бахвалова, метод компенсированной компактности и др.). Случай, когда с1рк=с11л- рскх, где р - характеристическая функция некоторого периодического открытого множества, соответствует усреднению в перфорированных областях п F£. В этой теории используются различные методы, в том числе известный метод продолжения, а также альтернативная техника р-связности, причем последняя годится в случае произвольной р-связной меры.
В теории усреднения широкое распространение получила интересная концепция двухмасштабного предела, выдвинутая в. ^ие1зеп£ [80] и разви-

тая в работах G. Allaire [68] применительно к мере Лебега. Усреднению задан методом двухмасштабной сходимости посвящены работы G. Allaire, A. Dam-lamian, U. Hornung [69], M. Neuss-Radu [82] и других авторов. B.B. Жиков ввел понятие двухмасштабной сходимости, связанной с произвольной периодической мерой ц [9], а также с переменной мерой /А [8], объединив тем самым метод двухмасштабной сходимости со своей техникой р-связности. Предельная мера /./ должна быть р-связной, в то время как связь между р и цн осуществляется через так называемые аппроксимативные условия.
Задачи усреднения на тонкой сетке (модельном примере тонкой структуры) впервые рассмотрены Н.С. Бахваловым и Г.П. Панасенко [2]. Они показали, что для скалярных задач результат усреднения не зависит от того, как толщина h(s) стремится к нулю при £—»0. В.В. Жиков заметил, что для задач теории упругости это не так (“масштабный эффект”) и дал классификацию тонких структур в зависимости от соотношения между s и h(e). Исследованию масштабного эффекта для задач теории упругости посвящены работы В.В. Жикова и С.Е. Пастуховой [14]-[16], С.Е. Пастуховой [29]-[31].
Аппроксимативные свойства составляют основу техники усреднения. Для каждой конкретной тонкой структуры такие свойства приходится доказывать отдельно. Для теории упругости аппроксимативные свойства для тонких сеток и тонкой ящичной структуры доказаны С.Е. Пастуховой. Вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами, рассмотрены также в работе G.A. Chechkin, V.V. Jikov, D. Lukkassen, A.L. Piatnitski [75].
Математические вопросы, относящиеся к тонким структурам, привлекают в настоящее время многих исследователей. Сюда относятся:
1) свойства соболевского пространства, отвечающего борелевской мере, тангенциальный градиент и проблема релаксации;
2) тесно связанная с аппроксимативными свойствами проблема предельного перехода в переменном соболевском пространстве;

Проверим разрешимость задачи (1.2.7), то есть выполнение условия
I ь° ■паг+2йТр| £ =° • (1 -2-8)
,=| г,
По формуле Стокса и лемме 1.2.2, имеем
| Ь0 ■ пс!Г = |(и, • 6о - «,' )Ф’, =
•у -у(а,-д)= > уа,

и условие разрешимости (1.2.8) проверено.
Докажем, что —> & в Т2 (П, й?//|а ), где 6 равен 6, на /; (/ = 1,2,..., т).
Запишем интегральное тождество задачи (1.2.7):

Jvz* • Vcpdx = f(b0 • й)^+ 1 £ ja^dF,. (1.2.9)
Fh dFh ,=l Г/
Так как по формуле Стокса
| О0 ■ n)
то из (1.2.9) имеем
lim j*VzA ■ V (pd/if = jib • Vcpdfiy ,
откуда следует, что Vzh-±b в Т2(П, lim IW'! V//f = (*£>V//,
h—уО J J

и сильная сходимость "Vzh ~>b в L2 (П, d//f) доказана.