Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области

• Автор: Рахманова, Луиза Хасаняновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 126 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Нелокальные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

§1.1. Задача с условиями периодичности

§1.2. Нелокальная задача

§1.3. Сопряженная нелокальная задача

Глава 2. Начально-граничная и нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

§2.1. Начально-граничная задача

§2.2. Задача с условиями периодичности

§2.3. Нелокальная задача

§2.4. Сопряженная нелокальная задача

Библиографический список

Введение
Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [99], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известных как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".
В 40-х годах Ф.И. Франкль [89] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике.
В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter, C.S. Morawetz, JT. Берс, В.Ф. Волкодавов, В.H. Врагов, Т.Д. Джураев, В.А. Елеев, В.И. Жегалов, А.Н. Зарубин, И.Л. Кароль, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, O.A. Ладыженская, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, А.М. Нахушев, Н.Б. Плещинский, С.П. Пулькии, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, P.C. Хайруллин, Хе Кан Чер,

JI.И. Чибрикова и др. В их работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.
Существенное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи ввиду их теоретической и прикладной значимости. Для различных классов уравнений нелокальные задачи изучались Ф.И. Франклем [90], A.B. Бицадзе [6], В.И. Жегаловым [17]— [19], A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [7], А.М. Нахушевьтм [43] - [45], Н.И. Ионкиным [25, 26[, А.Л. Скубачевскпм [80], В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [23, 24], М.Е. Лернером и O.A. Репиным [37] - [39[, Л.С. Пулькиной [50], А.И. Кожановым [30], К.Б. Сабитовым и О.Г. Сидоренко [70, 64], Ю.К. Сабитовой [71, 72[ и другими авторами.
В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [89] для уравнения Чаплыгина
А {у)ихх -f- Ui/у — 0,
где А"(0) = 0, К'(у) > 0, впервые поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия ("скачка уплотнения") н(0, у) — и(0, —у) = î{y)i 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции и{х,у).
Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. И.М. Гсльфандом [12]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [85], Я.С. Уфлянд [88], Л.А. Золина
К(*)| < Азк3фк, К'(*)1 < А3к3[фк,
где А-1 - здесь и далее положительные постоянные.
Доказательство. При достаточно больших к имеем: Л*, ~ 2тгк. Тогда из (1.39) с учетом оценки (1.43), имеем
К(*)1 = /ще~Чь - (№*1 - А№ъ’ 1 - °> С1-46)
К(*)1 = 1 < А2к1'фк, ь > 0; (1.47)
К(*)1 = 1т7Г(совЛ** - А,зтАД)| < л!. < А]кфк, (1.48)
аа[К) Оо
К(01 - '~л'-ып~ I <
< < 11, г < о. (1.49)

Сравнивая оценки (1-46) и (1.48), (1.47) и (1.49) для функций и*Д) и и'к(1;) при £ > 0 и £ < 0, получим требуемые оценки.
Исходя из (1.40) на основании (1.43), аналогично устанавливаются оценки для функций гдД) и гф(Д
Из уравнений (1.29) и (1.33) с учетом оценок для функций м*(£) и г(£) при /; £ [—а,0], получим
К(*)1 = (2 + (2тт/Ь)2)|гцД)| < ЛзА:3|к|,
К'(*)| = (Ь2 + (2тгА;)2)|щД)| < Аз/с3!!-
Из леммы 1.3 следует, что ряд (1.45) при любых t £ [—а, /3] мажорируется сходящимся числовым рядом

(!т*1 +1!)- С1-50)

Формально из ряда (1-45) почленным дифференцированием составим ряды:
+0О +00
щ{х,к) — ий{Ь) + л/2)Ги'к(£) соз(27г&ж) + У2у'к(к) зт(27гА;ж), к=1 к