Исследование некоторых переопределенных квазилинейных и нелинейных систем уравнений в частных производных первого порядка с двумя неизвестными функциями на плоскости

• Автор: Пиров, Рахмон
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 107 c. : ил

С ОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ (постановки задачи, обзор литературы,

основные результаты)

§ I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Теорема существования и единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1.2. Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1.3. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений

1.4. Линейное уравнение в частных производных первого порядка

1.5. Системы в полных дифференциалах

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ТРЕХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

§ 3. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕН® В ЧАСТНЫХ ЯР0ИЗВ0ДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНЫХ

3.3. Примеры
§ 4. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ДВА ИЗ КОТОРЫХ РАЗРЕШЕНЫ ОТНОСИ-

ТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНЫХ

4.3.
4.4. Примеры
§ 5. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ, ОДНО ИЗ КОТОРЫХ РАЗРЕШЕНО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

5.3. Примеры
§ 6. НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ (постановки задач, обзор литературы,основные результаты).
Простейшей переопределенной системой уравнений в частных производных можно считать систему
иу = СКос,у).
Условие Ру= 0Х необходимо и достаточно. При его выполнении (±ы = Р(ЭС,у)с1х +0(х,у)о1у
является полным дифференциалом и функция и (ос, у) восстанавливается интегрированием. Аналогично обстоит дело с полным дифференциалом в трехмерном и п.-мерном случаях.
Существенным обобщением этих результатов явилась теория систем в полных дифференциалах. Так называют системы с одной искомой функцией и.= и. (ос.^ >... ,сса) :
Эи. оС*>, ч .
(1) Эх
и с произвольным числом искомых функций и.к= и-к.^!,... , ос*.), к®
Для этих систем характерны два свойства. Во-первых это то, что левые части пробегают все производные от всех функции по всем переменным. Характерно, во-вторых, что в правых частях производных не содержится; можно говорить, что все уравнения разрешены относительно производных. Отметим также, что системы (I) и (2) являются квазилинейными.
Операции перекрестного дифференцирования, совершаемые в (I) (2), приводят к соотношениям, содержащим искомые функции, и должны рассматриваться как необходимые условия совместности. Если они выполняются тождественно относительно искомых функций,

13) СЯ (3) C2) JA (а) сз> л сг) (з) Л*ЛЧ Г CO со (Я ,(0 ся/*
-d.f +d-T-V + P-T-T‘T-r--^}u+[Jitd,M,T-e'-
_ ЯЯЗ.+2i£ - J* Ж _ Ä - R.’— +
rf rlr 6‘ *1 6 • 6* “ 6 T б1 Г
, f“® j“ J«T® л .(« «1л/* “>Г- (2) (і) (2) CS) І*- (3) (2) M. («(«ГАН r(0 -ЛЯ (2)0) COCtt <*Ш
-Pf+p-r- -V+p-T- T -Ï-Î- T2 гV4V°*'P +d'5-*-5f
лт:-г/'Т-«”Ар“)4»й"ит)т
+^2 [f- rf)- &/*+ip(s*5- 6i.s)-f (s^6-б^)]гЦ- ых- J?f
/ СЯ CO CO СЯ C3). j (3)(A) 2 (*) (5) (Я 0)
+~(VVP+P’ir )+<*-ї-^+^(*тє-гї-+<*-ї-є*-
(A)(2) 2 (3)(2) І2)Ш (0 (2) VI г CO (2) СОСЯ (2) (O (2)(3)
. fiK-ç-і ift“ m4if>*
,f’^?f5r-fV"e,4fK.T“V>-1«Pv|«,ç-c*Â"
Ç*UO (2)ЛЗ) / (2) JO (0(0(0 G)(0 (2)ö)x d |J«C0C®(1> >
-ct.S-p.s +(îx-f,-oi-r-p+oi-T + p-r)-f+lS-T-S-ï- ) ф +
C3)C2)f 1 fW^> « ®Де <*¥»* иШ.2 (2) (А) н аIу * б74“Г21^ ^ -f •o,jvv&-y.S . 6 + J . Sb +
WMit HHS)dtl Г СО <« Ç3)(2) (S) СО (A) C2) ( C2) coco M
+w№-nr-âKJ=K' f1) U) (2) t» C« CA) СО C5).l Г CO na> CO ca) .(О СО Са) СЗ) (5) СО (А) (2)
-л-Т+р-іГ+Т'У-у-Г )|и+[^-рх+сі.р-і-р-р-р+р.у-р.у +
J*, (2) СО И>0) ДО СО СО (2) Ci) Cl) (А) со (5) л Гс(0 ДО СО СО СО СО
+^і -р-*ртпт -т-т )K4V^'S‘
(2) 13) СО СА) СО л5) 4 , (2) СО И) 12) Ш (О (О С2) СЗ) СО (А)
-p.5-ï-S+r8 +flt-r-d-|+*-T-p+p-T +Т-Т