Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений

• Автор: Вафодорова, Гулпари Одинаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

Глава 1.
Задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений
1.1. Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений
1.2. О единственности решения первых двух краевых задач для уравнения теплопроводности без начальных условий
Глава 2.
Аналог задачи Гурса для некоторых дифференциальных уравнений
2.1. Задача ГУрса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций
2.2. Аналоги задачи Гурса для уравнения иху
в классе целых функций экспоненциального типа 55
Основные результаты
Литература
Начало исследованию задач без начальных условий для параболического уравнения принадлежит А.Н. Тихонову [52], который указал метод исследования задачи без начальных условий для уравнения теплопроводности и дал её первое строгое решение.
В его известной работе [53] была исследована единственность решения задачи без начальных условий (задачи Фурье) для уравнения теплопроводности
du 2д2и
!н ~ да?’ х > _0° < +°°’
Ulr=+0
Задачей без начальных условий для отдельных параболических уравнений и систем занимались O.A. Олейник, Е.В. Радке-вич, С. Д. Ивасишен, А. Е. Шишков, К. В. Валиков, Н.М. Бокало, И. И. Шмулев, Е.И. Моисеев, А. И. Янушаускас, С. Д. Эйдельман, A.C. Калашников, Н.П. Куликов.
Тем не менее, задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений не изучались.
В настоящей диссертации изучаются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений, задачи

без начальных условий для неклассического уравнения вида
щ = Ьи,
где Ь — гиперболический оператор (аналог задачи Гурса).
Первая Глава IIосвящена исследованию задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений.
1. Постановка задачи и результаты. В первом параграфе исследуются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений.
Рассмотрим задачу
хкихх = а2щ, — оо < к < 2, х > 0, £€(—оо,+оо) (1)
при граничных условиях
*4=0 = /(4 (2)

+оо Т.
/(<) = Е л = 2т] л*)'"1*'«“•
1——'~ ОО у
Ограниченное решение будем искать в классе периодических функций в виде
+оо
и(х,г) = 52 и‘е(3)

причем функция и(х^) непрерывно при I > 0, ( £ (—оо,+оо) и непрерывно дифференцируема по I и дважды по х при х > 0, t € (-оо,+оо).

Проведем типичную оценку полученных слагаемых для
О < х + у < L, 0 < х — у < L.
Выпишем неравенство для функции Бесселя
|io(in)| < Cew 0 < |гг| < оо.
Эта оценка при |гт| < 1, очевидна. Если |ш| > 1, то используя асимптотическую формулу для функции Бесселя [13]
получим
Ш) < < СеЧ
V 7Г y/w
Выпишем еще две оценки для функции Бесселя, которые аналогично доказываются
< СеI“!, 0 < |гг] < оо,
< Се'“!, 0 < |w] < оо.
Отметим оценку для аргумента w при
0 < х + у < L, 0 < х — у < L :

h{w)
W= 2/*Y'4^fI-+ »)-r) =
= lVaVW-