Исследование негрубых неподвижных точек отображения плоскости

• Автор: Лейбо, Алексей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Горький
• Количество страниц: 114 c. : ил

ГЛАВА!. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТИ НЕГРУБОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ С ДВУМЯ ЕДИНИЧНЫМИ СОБСТВЕННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМ

§ I. Определения и вспомогательные леммы

§ 2. Структура окрестностей неподвижных точек

вспомогательных отображений

§ 3. Структура окрестности неподвижной точки отображения с двумя единичными собственными значениями

и непростыми элементарными делителями

Г Л А В А 2. ЕИФУРКАЩИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК

§ I. Бифуркации вырожденной двукратной

неподвижной точки

§ 2. Рождение К замкнутых инвариантных кривых отображения с двумя комплексно-сопряженными по модулю равными единице собственными значениями
§ 3. Приведение к специальному виду отображения с двумя единичными собственными значениями в окрестности неподвижной точки типа фокус
§ 4. Рождение замкнутой инвариантной кривой из негрубого фокуса с двумя единичными собственными значениями
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

Идея сведения изучения решений обыкновенных дифференциальных уравнений к изучению отображений принадлежит А.Пуанкаре [29]. В связи с исследованием периодических решений автономных систем А.Пуанкаре ввел понятие точечного отображения трансверсальной к потоку поверхности, понятия неподвижной точки и инвариантных кривых, проходящих через неподвижную точку. Им же исследованы структуры окрестностей неподвижных точек в случае, если собст -венные значения отображения по модулю отличны от единицы и указаны сложности, возникающие при исследовании комплексно-сопря -женных собственных значений по модулю равных единице. А.Пуанка-ре в работе [30] при рессыотрешш задачи трех тел были введе— ны отображения, с охраняющие площадь, установлено возможное поведение инвариантных кривых, введены понятия гомоклинической и гетероклинической кривой.
Основная идея А.Пуанкаре об изучении отображений в теории дифференциальных уравнений использовалась затем Дж.Биркгофом [б] , который провел большое количество исследований в области теории динамических систем и топологической динамики. Возник новый метод исследования динамических оистем, описываемых диф -ференциальными уравнениями, метод точечных отображений или метод секущей поверхности Пуанкаре - Еиркгофа.
Дальнейшее развитие метода точечных отбражений связано, с исследованием многомерных динамических систем, поскольку метод точечных отображений является одним из основных методов изучения таких систем, а также с рассмотрением сложных колебатель -ных процессов [23 - 25] и динамических систем с разрывными и неоднозначными правыми частями [ д] . Привлечение метода то
чечных отображений позволило А.А.Андронову совместно с Н.Н.Ба-утиным и А. Г. Майером решить ряд задач теории нелинейных коле -баний, таких как задачу о стабилизации самолета автопилотом ^1, стр. 231 - 237] , задачу Вышнеградского в теории прямого регулирования I, стр. 250 - 27з] и ряд других /~1] •
Динамическую систему, описываемую дифференциальными уравнениями, связывают с порожденным ею точечным отображением двумя способами: либо с помощью секущей поверхности, либо путем построения отображения сдвига, где последнее есть точечное отображение, ставящее в соответствие каждой точке фазового пространства точку, в которую она перейдет по траектории диф -ференциальных уравнений через время ~ . Получается последо -вательность точечных отображений, порождаемая фазовыми траек -ториями динамической системы, на некоторой последовательности поверхностей без контакта: ... , , ... , Д. , ,
... » , ... . Секущая поверхность является частным случаем
такого построения, когда все поверхности совпадают.
Переход от динамической системы, описываемой дифференци -альными уравнениями, к точечному отображению секущей поверх -ности наиболее эффективен при исследовании окрестности замкнутой траектории динамической системы. На секущей поверхности замкнутой траектории соответствует неподвижная точка отображения. Поведение фазовых траекторий в окрестности замкнутой траектории естественным образом определяется поведением дискрет -ных траекторий в окрестности неподвижной точки на секущей по -верхности. При этом малому изменению правых частей дифференциальных уравнений соответствует малое изменение соответствующего точечного отображения. Обратное также верно: если имеется
динамическая система класса

одно из следующих условий:
1) К-2в+± <2^ + 1 , 0< О;
2) К = 2ум-1, 0 < 0 , £г+1/(н + ±)0< 0 ,
то неподвижная точка (0,0) отображения (3.1) не имеет дискрет -ных траекторий, входящих в неё в определённом направлении.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из леммы 2.10. имеем, что в случае I) окрестность неподвижной точки (0,0) отображения ( Де ), в случае 2) - отображения ( А к ) состоит из двух гиперболических секторов. На основании леммы 3.1. из двух гиперболических секторов в обоих случаях состоит и окрестность не -подвижной точки (0,0) отображения ( /4*.)* Инвариантной прямой отображения ( 4 ) является прямая Х= 0 . Переходя от отоб
ражения ( ) к отображению (А )» на основании леммы 1.3. ,
получаем требуемый результат.
Теорема доказана.