Точные границы крайних показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем при экспоненциальных и степенных возмущениях

• Автор: Барабанов, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 136 c. : ил

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Старший б-показатель линейной дифференциальной системы

§ I. Определение и свойства старшего б-показателя

§ 2. Системы с кусочно-линейными старшими

б-показателями

§ 3. Теорема о виде старшего б-показателя

линейной дифференциальной системы

Глава II. Старший б-показатель линейных дифференциальных уравнений

§ I. Теорема о совпадении

§ 2. Предварительные леммы

§ 3. Теорема о виде старшего б-показателя

линейного уравнения
Глава III. Крайние показатели Ляпунова при возмущениях, медленнее экспоненциальных стремящихся
к нулю на бесконечности
§ I. Алгоритмы вычисления показателей Г^в (А) и ’$бв(А)

§ 2. Свойства показателей Г6в(А) И Уда (А) • • • • &
§ 3. Достаточность установленных свойств показателей Г^е(А) и ъ6в(А)
В предположении 9 (Шо при -£-Э-*оо
§ 4. Предельные показатели, соответствующие
функции 0Ш
ЛИТЕРАТУРА

Рассмотрим линейную систем дифференциальных уравнений
0С=А(4:)х, XG IHnf i >0, (0.D
с ограниченными ( JI А (■£)!! 4 cl) и кусочно-непрерывными но 4:2-0 коэффициентами. Наряду с исходной системой (0.1) будем рассматривать и возмущенные системы
(А(4)+0(4))у,; уеЛ* Ъо, (о.2)
с кусочно-непрерывной мхя-матрицей -возмущением 0.(4:)
из класса
Ж6[Ш]
={е«): иешйд/ае-бе® Ns=«i,iso},5)0,
где фиксированная кусочно-непрерывная функция 0(4:) t+ 00 при 4: + Пусть Д С А-+ Q-) ^ ^ in, (А+ Q.)
характеристические показатели Ляпунова [22,с.27;7,с.63] системы (0.2), расположенные в порядке неубывания.
Диссертация посвящена исследованию зависимости точных верхней грани старших /„.(A + Q-) и нижней грани младших Д СA+Q,) показателей систем (0.2) от параметра 6>0 соответственно в классах возмущений ТХ161&(4:)] с любой фиксированной функцией 9(4:) и 1Пб [6(^)3 с (Q(4)H)-*0 при 4: -* *
Остановимся на работах, к которым имеет непосредственное отношение рассматриваемая диссертация.
Ю.С.Богданов [5,6] доказал, что при б‘>бл где 6^ -* коэффициент неправильности Ляпунова [22,с.51] ,

показатели систем исходной (0.1) и возмущенной (0.2) с возмущениями 0.(4)е У7С6[4:] совпадают. Д.М.Гробманом [12] установлено, что величину бл можно заменить не большей величиной - коэффициентом неправильности Гробмана бг [І2;17,с.81] . В.М.Шллионщиковым [23] показано, что нижняя грань тех 6начиная с которых показатели систем (0.1) и (0.2) с 0.(4:) є £4:1 совпадают, не превосходит его асимптотического числа б"м [23;17,с.81]
Для коэффициента неправильности бп Перрона [26;17, с.81] было установлено совпадение старших показателей исходной и возмущенной двумерных систем при 0.(4:) є /Щ.б£4:] и б>бп (Н.А.Изобов [15] ) и отсутствие его для и-мер-ных систем при п.2-3 (Р.А.Прохорова [28] ). Младшие показатеж систем (0.1) и (0.2) при любом и б>бп
уже не обязаны совпадать (Р.А.Прохорова [27] ). Р.А.Прохоро-вой [28] была введена также величина 6<є[бП, бД такая, что /п. ГА+О.) =/„. (А) при 0(4:)е 7ТСб[4:] и и с ее помощью получена оценка сверху для (А+ О.) при
всех О (4) є 77їє[4.] и всех б>0.
Для так называемого старшего б-показателя
у«.СА)з^р Хп.СА+й)
ееШбС-Ы
системы (0.1) Н.А.Изобовым [іб] построен алгоритм вычисления по ее матрице Коши и установлены свойства непрерывности его как функции переменной 6 > О и липшицевости на каждом полуинтервале Г£>+°°)? Є-'хЗ. Некоторые свойства
старшего показателя У^СА) установлены также
Я.Фодором [30] . Для младшего б-показателя

где Р(’О равно: Р0(4) при 4 е Е о, Д ) ? Р/г(4) при 4 £[(!*, (о + О, Рл(4) при 4е С^-И, Я?0 + 1], из предыдущего очевидным образом вытекает, что она принадлежит и за время от С до 2.Д-М переводит матрицу
Х0 -Хска-С^Л II х'п/Г'1] в матритду
К = ^ °Н-£ II ^‘"Л"1].
Пусть теперь линейный оператор А задается равенством = Х,о сЕх^[<Д сД] ;
тогда
1А-Е(|= (2.24)
: IIX £о Г ил Л,-. А ]' ^) ) *1 < С6 ^ (■4- ‘<А
и®4
Пусть
^=пгЧй5 тН- (2-25)
Тогда если все оД С] >г) попадают в интервал I —
= (4-ТГо, 4•+ 5"0), то матрица иа.л-Е) (см. формулу
(2.15)), в силу выбора чисел и $“0 и оценки
(2.24), обратима при всех 4 е [о, 1]
Обозначим: К.* « пгах I к : а^/к е I I , Г = 1 и-;
-1 ке/п/ ]
КГ0 = У1].
Определим жнейный оператор п0 равенством
ах” = х£ ^г-Г”, а*- «М • (2-26>
Обозначим [1(4, А-Е) через 110 (4) и зададите
систему