Исследование основных краевых задач для некоторых В-полигармонических уравнений методом потенциалов

• Автор: Денисова, Марина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Фундаментальные решения В-полигармони-ческого уравнения четвертого порядка и потенциалы типа простого и двойного слоев

§1. Потенциалы типа простого и двойного слоев

§2. Предельные значения потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя

§3. Предельные значения нормальной производной потенциала двойного слоя

§4. Основные краевые задачи для В-полигармонического

уравнения четвертого порядка

§5. Сведение основной краевой задачи для В-полигармонического уравнения четвертого порядка к системе интегральных уравнений

Глава 2. Решение основной краевой задачи для В-поли-гармонического уравнения четвертого порядка методом потенциалов в трехмерном случае
§1. Потенциалы типа простого и двойного слоев
§2. Предельные значения потенциалов типа простого и двойного слоев
§3. Основные краевые задачи для В-полигармонического
уравнения четвертого порядка в трехмерном случае
Глава 3. Решение основной краевой задачи для В-полигармонического уравнения шестого порядка
методом потенциалов
§1. Фундаментальные решения и потенциалы для В-полигармонического уравнения шестого порядка
§2. Предельные значения потенциалов
§3. Основные краевые задачи для В-полигармонического уравнения шестого порядка и ее сведение к системе интегральных уравнений
Библиография

Введение
Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения имеют многочисленные приложения в газовой динамике, теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и др.
Эллиптические уравнения, содержащие сингулярный оператор Бесселя
R кд_
1 ~ dt2 + tet'
сводятся к вырождающимся эллиптическим уравнениям. Поэтому теория эллиптических уравнений, по одной из переменных которой действует сингулярный оператор Бесселя Bf, впоследствии названные И.А.Куприяновым [16] Б-эллиптическими уравнениями, тесно связана с теорией вырождающихся эллиптических уравнений. Впервые фундаментальные решения уравнения
Ави = 0, (0.1)
где А в = Д.т' + ВХп, Axi - оператор Лапласа, х' = (a;i, яг, •••,
ВВп - оператор Бесселя, при к ~ 1 и п — 2 были построены Е.Beltrami,

целью подставим ее в граничные условия; (1.37),(1.38). В результате, с учетом формул скачков (1.6),(1.7) и (1.27), получим
Аи^(Ро) = /о(Ро) - - / 1^(Р)КГ]кс1Г - ^ [ у(Р)К2т1ЧГ,
1Г У, 7Г У,
Система уравнений (1-45) относительно плотностей ц(Р) и н(Р) является системой интегральных уравнений с ядрами со слабой особенностью. Поэтому для этой системы справедлива альтернатива Фред гольма.
Докажем, что однородная система интегральных уравнений, соответствующая системе (1.45) не имеет ненулевых решений.
Пусть (цо, Ц)) - какое-то отличное от нуля решение системы однородных уравнений, соответствующей системе (1.45). Рассмотрим функцию, которая получается, если в (1-44) вместо плотностей подставить и По
Очевидно, что функция ЩМ) удовлетворяет уравнению (1.36) в области Р+ и нулевым краевым условиям. Отсюда, в силу единственности решения внутренней задачи

АиКРо) = ~/і(Ро) - Яікае(РоМР0) + - I МР)1%*<*Р+
ж/+ °пр
(1.45)
(1.46)
(1.47)