Аналитические исследования нелинейных начально-краевых задач для некоторых классов течений идеального газа

• Автор: Чуев, Николай Павлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава I. Сферически-симметричное истечение самогравитирующего
газа в вакуум
§1. Постановка задачи о распаде разрыва
§2. Построение волны разрежения
§3. Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму
Глава II. Аналитический метод исследования пространственных задач
динамики самогравитирующего газа
§4. Постановка задачи Коши для системы уравнений газовой динамики
с учетом гравитационных сил
§5. Построение решения задачи Коши и исследования структуры
коэффициентов ряда
§А Об эволюции вращающегося газового шара в условиях
самогравитации
§7. Исследование закона движения свободной поверхности
гравитирующего газового шара
Заключение
Литература
Приложение
Таблицы №1-№
Рисунки №1--№20

Введение
Диссертация посвящена решению начально-краевых задач для нелинейных систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих пространственное нестационарное истечение идеального газа в вакуум. При этом предполагается, что кроме поверхностных сил давления, под действием которых происходит движение газа, заданы силы взаимного гравитационного притяжения по закону Ньютона между частицами.
Решение начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными является актуальной проблемой общей теории дифференциальных уравнений. Результаты теоретических исследований находят важное применение при решении задач математической физики, в частности, газовой динамики. Среди краевых задач можно выделить краевые задачи со свободными границами, на которых известны значения некоторых искомых функций, но заранее неизвестны положения самих границ. Исследование задач неустановившегося движения газа со свободными границами, важными с точки зрения приложений, представляет собой значительные математические трудности. К таким задачам газовой динамики относится задача по изучению движений, возникающих при истечении газа в вакуум, которая состоит из двух частей: задача о распаде соответствующего разрыва и задача о непрерывном примыкании газа к вакууму.
Сформулируем задачу о распаде разрыва. Пусть в момент 1. = О замкнутая поверхность Г, граница области , отделяет идеальный политропный гравитирующий по закону Ньютона газ от вакуума. При этом в момент = 0 известны распределения параметров газа в П0: и - йп(х)
скорости газа; р = р0(х) - плотности, Х-л(х) - энтропии, х = {х,у,г}.

Функции й0, р0, л0, а также функция /0(.х,/) = 0, задающая поверхность
Г , предполагаются аналитическими в окрестности точки х0, а плотность газа всюду в П0 больше нуля, в том числе Ро(х)|г > 0. В момент I = 0 поверхность
Г мгновенно разрушается и начинается разлет части гравитирующего идеального газа в вакуум. Возмущения, возникшие в фоновом течении в результате мгновенного убирания поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Г,, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны, волна разрежения примыкает к вакууму: р|г =0, где Г0 - свободная поверхность,
отделяющая волну разрежения от вакуума. Требуется построить как фоновое течение, так и волну разрежения, а также найти законы движения Г, и Г0. Для построения фонового течения необходимо решить задачу Коши с начальными данными й0, р0, ,у0 . Это решение позволяет найти закон распространения Г1 и распределение газодинамических параметров на ней. Определив значения искомых функций на Г, можно решить характеристическую задачу Коши, построив тем самым течение в области между Г, и Г0, и найти закон распространения Г0. В дальнейшем эту задачу будем называть задачей о распаде специального разрыва.
Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму формулируется следующим образом. Пусть в момент времени П = П (в частности ! = 0) известная замкнутая поверхность Г0 является границей, отделяющей область О0, заполненную идеальным политропным гравитирующим газом, от вакуума. В начальный момент времени ( = (0 = 0) известны распределения
параметров газа в области О.0: и = й0(х), р = р0(х), х- х(л), л = {л,у,с] еП0. Функции и0, р0, л0 и уравнение поверхности Г0 являются аналитическими

Доказательство леммы аналогично [4-6] и проводится индукцией по к. База индукции следует из равенств (2.3), (2.5)-(2.7). Если предположить справедливость равенств (2.10) для / = к - 1, то решая третье уравнение (2.9) с использованием подробной записи (2.8) получим
(2 11)
Анализ функции СзДст) показывает, что она состоит из суммы произведений
М«Л> {хм - ДЛЯ 1<к, т<к
В соответствии с индуктивным предположением, на основании формул
(2.10)
034(ст) = 0(2(0,сгт,ст1поХ
где (2 - многочлен переменных о,от,о1по.
Интегрирование увеличит степень на единицу и будет представлять многочлен со степенями
Аа~2аЛ+ Ва-ш+11+ Сс~2а*+',+11пу о
Окончательно для коэффициента можно записать =аД3,(о,оу,о1по), где Рзк- многочлен с положительными степенями о.
Аналогично можно привести рассуждения о втором уравнении систем (2.8)-(2.9). Решение обыкновенного дифференциального уравнения для ик будет иметь вид:
°*1 [(Ч-Н - -<«1* - (212)
Ч у у-1 ) )