О некоторых вопросах теории регуляризованных следов дискретных операторов

• Автор: Михаскив, Денис Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Архангельск
• Количество страниц: 70 с. : ил.

1. Формулы регуляризоваиных следов обыкновенных

дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в Ь2(—оо,+оо)

1.1. Предварительные сведения

1.2. Матричные представления обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в 12(-оо,+оо)

Ф 1.3. Формулы регуляризоваиных следов

1.4. Пример оператора 6-го порядка, возмущенного

оператором 2-го порядка

2. Формулы регуляризоваиных следов одного класса абстрактных дискретных самосопряженных операторов,

возмущенных ограниченным

2.1. Формулы регуляризоваиных следов

^ 2.2. Примеры

Список литературы

Целью данной работы является изучение некоторых вопросов в теории регуляризованных следов дискретных операторов. В ней рассматривается изучение формул регуляризованных следов некоторых классов дискретных операторов, вычисление явных выражений для регуляризованных сумм собственных чисел этих операторов через параметры операторов.
Теория следов линейных операторов берёт своё начало с одного из фундаментальных фактов конечномерной линейной алгебры: инвариантности матричного следа линейного оператора и совпадении его со спектральным следом.
Хорошо известно, что сумма диагональных элементов матрицы линейного преобразования в «-мерном пространстве, т. е. след матрицы, равняется сумме собственных значений преобразования с учетом их кратности.
Сумма собственных значений линейного оператора в «-мерном пространстве называется спектральным следом, а сумма диагональных элементов матрицы преобразования — матричным следом. Хорошо известно, что спектральный след оператора равен его матричному следу. Естественно возникает вопрос: справедливы ли подобные факты и для каких классов операторов в гильбертовом пространстве? Следы операторов играет важную роль в различных разделах анализа, в вопросах приближенного вычисления собственных значений, при решении обратных задач спектрального анализа, их изучение представляет и самостоятельный интерес.
Отметим, что справедливо следующее утверждение:
Если А - ядерный оператор, то при любом выборе ортонормированного

базиса {<'РкУк^х в гильбертовом пространстве Н ряд У,(АФк’Фк) абсолютно
4=і

сходится, имеет место неравенство - сингулярные
4=1 к

числа оператора А) и сумма ряда £(А<Рк><Рк) = $РА, которую мы назовем

матричным следом оператора А, не зависит от выбора базиса {(рк}. Спектральным следом ядерного оператора А называется сумма его собственных значений Лк, занумерованных с учетом алгебраической

кратности, т. е. выражению У Лк

Отметим, что если А - ядерный (и, следовательно, вполне непрерывный) и самосопряженный оператор, то к нему применима теорема Гильберта -Шмидта, согласно которой существует ортонормированный базис Н из собственных векторов оператора А. Вычисляя матричный след оператора А

в этом базисе, получим, что $рА = /. ^ . т. е. матричный след оператора

совпадает с его спектральным следом.
Естественно возникает вопрос о справедливости такого рода утверждений для произвольных ядерных операторов. Ответ на этот вопрос положителен. Справедлива следующая теорема В. Б. Лидского [7, 13,38]:
Если оператор А - ядерный, то его матричный след совпадает с его спектральным следом:
'Е(А<Р*’Р*) = £Лк(А1
4=1 4
где {(рк- произвольный ортонормированный базис в Н, Лк(А)— собственные зкіачения оператора А.
к=т +1
{Всрп,(рк){В(рк,срп)
К ~ К
_ у Ы (ВЛ-5(рп,(рк)(ВА~5(рк,(рп)
’*£♦1 К-К

% X
А=т+1
А"-А"
+оо £
А=т+1 /=/я+1
•і1-<5
Ап Лк+1 Лп

к=т+

1 'і ХІВА'
оі-^
ЛА+1 Л'л У

Лт+І Ап
Вновь применяя (1.3.1), для второй поправки ряда возмущений имеем
(Всрп,срк)(Всрк,срп)
— ІЯр(ВК(Л,Л)ВЯ(Л,А))с1Л 2т
п=0 к=т+
А* Ал
<5 о
< у_и

А? Ш
< А^У
— т Ц-і

/ -* л 1-3 д 1-^ — т ' 7 ^1 -8-(о т!-З-о) •
Я=0 Лт+1 Ал л=0 лт+1 >%
Так как Ат+1 > Ал,, то, согласно выбору последовательности , данная
и у 1—$—О)
сумма, как часть ядернои нормы резольвенты оператора А , стремится к нулю.
Таким образом,
ут $8р(В1і(Л,Л)ВК(А,Л))сіЛ
= о(а6т 10) при т —> +со и
оценка ряда верна при / > 2. Таким образом, окончательно получаем, что
Ё^-^ + ^ИТ!^(М) при и
Правая часть этого равенства стремится к нулю при т —> +со если
. (5
6 - со{1 -1) < 0, т. е. при * ^ — +1. Заметим, что при следующих

ограничениях на 5 и со: ~~ ^ 3 < 0 < со <- 5 минимально
2 р р р
;-і / і