Эволюционные функционально-дифференциальные уравнения

• Автор: Жуковский, Евгений Семенович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 301 с. : ил.

I Линейное эволюционное

функционально-дифференциальное уравнение

1 Общая теория

1.1 Элементы общей теории абстрактного линейного функционально-дифференциального уравнения.

Представление оператора Грина

1.2 Начальная задача. Функция Коши

1.3 Вольтерровые операторы

1.4 Квазивольтерровые операторы

2 Приближенное нахождение

функции Коши

2.1 Алгоритм приближенного нахождения

функции Коши
2.2 Модификация метода в случае |Т(7)| = const
2.3 Сходимость метода
3 Вольтерровые операторы
в пространствах суммируемых функций
3.1 Условия вольтерровости интегрального оператора
3.2 Спектральный радиус интегрального оператора
3.3 Условия вольтерровости оператора
внутренней суперпозиции
3.4 Спектральный радиус оператора
внутренней суперпозиции

4 Уравнение нейтрального типа
4.1 Уравнение нейтрального типа в пространстве абсолютно непрерывных функций
4.2 Уравнение нейтрального типа с несуммируемыми коэффициентами
4.3 Уравнение нейтрального типа с отклонением аргумента, не удовлетворяющим условию "независания"
II Нелинейное эволюционное
функционально-дифференциальное уравнение
5 Нелинейные операторные уравнения Вольтерра
5.1 Неподвижные точки нелинейных
вольтерровых операторов
5.2 Непрерывная зависимость от параметров
решений уравнения Вольтерра
5.3 Неравенства Вольтерра в функциональных
пространствах
6 Нелинейная задача Коши
6.1 Разрешимость. Непрерывная зависимость
решений от начальных условий
6.2 Теоремы о дифференциальном неравенстве
6.3 Дифференциальные уравнения
с авторегулируемым запаздыванием
7 Приближенные методы решения нелинейной задачи Коши
7.1 Приближенное решение задачи Коши
7.2 Метод Тонелли,
простой и улучшенный методы Эйлера
7.3 Приближенное построение
предельно продолженных решений
Список литературы
Предметный указатель
Обозначения

Уравнения с отклоняющимся (запаздывающим) аргументом давно привлекли внимание исследователей и имеют богатую историю. Еще во второй половине XVIII века в литературе появились первые результаты (Кондорсе, 1771 г.). Уравнения с отклоняющимся аргументом и их многочисленные обобщения, объединенные названием "функционально-дифференциальные уравнения", возникают в моделях, учитывающих конечность скоростей распространения сигналов, инерцию конкретных объектов и т.д. Эти уравнения нашли многочисленные приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении процесса сгорания топлива в ракетных двигателях, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах электродинамики, биологии, медицины, во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается. Систематическое изучение дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом было начато в середине XX столетия в нашей стране А.Д. Мышкисом [172]-[175] и в США Р. Веллманом [24, 237, 238]. С тех пор актуальность приложений, сложность и новизна проблем, серия загадок и парадоксов всегда привлекали и подолжают привлекать к функционально-дифференциальным уравнениям многочисленных исследователей. За полвека своей истории теория функционально-дифференциальных уравнений прошла путь от первых разрозненных результатов до самостоятельного, имеющего многочисленные приложения, давшего новые идеи и методы обширного раздела современной математики. В ее построение внесли вклад многие исследователи. Этапы создания теории нашли отражение в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной, П.М. Симонова [12, 13, 15], JI.A. Бекларя-на [29], Р. Веллмана, K.JI. Кука [24], H.H. Красовского [139], В.Б. Колма-новского, В.Р. Носова [135], Ю.А. Митропольского, Д.И. Мартынюка [171],
А.Д. Мышкиса [175], Л.Э. Эльсгольца, С.Б. Норкина [177, 233], Э. Пинни [184], В.П. Рубаника [190], А.Халаная [244], Г.Л. Харатишвили, Т.А. Тадума-дзе [200, 214, 215].

Необходимость. Пусть оператор ф'1 вольтерров на системе у. Покажем, что композиция П7(2РгП^(2~1Ру будет тождественным оператором. Элемент х1 = П7 <2-1 Р7 /7 является сужением на е7 решения х уравнения ф ж = Р7 /7. Вследствие вольтерровости оператора С} при £ Є е7 имеем (<Зо:)(^) = (П7<5П7ж7)(0- Таким образом, /7 = П7 ф Р7 П7 ф-1 Р7/г Аналогично доказываем, что композиция П7 ф-1 Р7 П7 <5 Р7 также является тождественным оператором. Итак, оператор <57 обратим, С}*1 = П7<5_1Р7.
Следствие 1. Пусть действующий в банаховом пространстве В линейный ограниченный волътерровый на у оператор <2 обратим. Если оператор Свольтерров, то операторы С}*1 : В (е7) —> В (е7) ограничены в совокупности.
Действительно, согласно теореме Банаха об обратном операторе [134, с. 225] действующий в банаховом пространстве оператор ф-1 ограничен. Согласно теореме 3.2 при всех 7 выполнено || <57! || ^ || Ф 11| •
Следствие 2. Если в пространстве В выполнено V-условие, то спектральные радиусы линейного ограниченного вольтеррового на у оператора К : В -» В и оператора К1 = П7Х Р7 : В (е7) —> В (е7) при любом. 7 удовлетворяют неравенству р (К7) ^ р{П).
Действительно, для любого р Є С, удовлетворяющего неравенству |д| < ~рі^Ку опе1>атоР I ~ Р К обратим, причем обратный оператор (I — р К )~1 является вольтерровым1. Согласно доказанной теореме, оператор /7 — р К■, обратим, т.е. р - регулярное значение оператора АД.
Пусть В - нормированное пространство. Определим отображение2 Ев : (О, Ь - о] х В -> Л формулой Дв(7,у) = ||П7у ||В(е ) • При каждом у Є В
функция Ев(-,у) не убывает, и поэтому существует Нш Ев (7, у) — г0(у).
7->о+о
Доопределим отображение Ев значением Ев (0, у) = 2о(у).
Линейный оператор К : В -у В назовем улучшающим на системе у ,
1 Если первоначально оператор К действовал в вещественноем пространстве, то здесь под К понимается его комплексное расширение [129, с.482-486], определяемое равенством К(х + іу) = Кх + гКу. имеющее с исходным оператором одинаковый спектральный радиус и также обладающее свойством вольтерровости на совокупности V.
2Там, где это не вызовет недоразумений, будем опускать индекс в обозначении отображения гАп