Асимптотическое решение матрично сингулярно возмущенных периодических задач оптимального управления

• Автор: Щекунских, Светлана Станиславовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Глава 1. Нелинейная периодическая задача оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Формализм прямой схемы

§1.3. Оценки приближенного решения

§1.4. Пример

Глава 2. Линейно-квадратичная периодическая задача оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в критерии качества

§2.1. Постановка задачи

§2.2. Формализм прямой схемы

§2.3. Оценки приближенного решения

§2.4. Невозрастание значений минимизируемого

функционала
§2.5. Пример
Глава 3. Асимптотика решения периодической задачи для матрично сингулярно возмущенного
уравнения Риккати
§3.1. Постановка задачи
§3.2. Алгоритм построения асимптотики решения
§3.3. Оценка остаточного члена
§3.4. Пример
Литература

Теория сингулярных возмущений начала интенсивно развиваться после опубликования известных работ Тихонова А.Н. [46], [47]. Она привлекает внимание многих математиков, что объясняется ее большой прикладной значимостью. Сингулярно возмущенные уравнения выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов в физике, химии, биологии, технике. Если решения этих уравнений удовлетворяют условиям периодичности, то возникают сингулярно возмущенные периодические задачи.
Сингулярно возмущенным задачам посвящены работы [7, 9, 10, 11, 13, 14, 41, 46,47]. Сингулярно возмущенные периодические задачи рассматривались Васильевой А.Б. [9], Аносовым Д.В. [2], Борисовичем Ю.Г. [4], Волком И.М. [15-17], ИаИо Ь., Ьеуйнюп’ом N. [58], Иап^ом Е.11. [68].
В работах [2], [58] при некоторых условиях доказано существование периодических решений сингулярно возмущенных систем, если вырожденная система имеет периодическое решение. Вопрос построения асимптотики решения в этих работах не рассматривался. Результаты работы [58] обобщены на случай банахова пространства в работе Борисовича Ю.Г. [4].
В работе [9] были рассмотрены периодические задачи для сингулярно возмущенных систем, для которых при некоторых условиях построено асимптотическое разложение решения в виде ряда по степеням малого параметра.
Методы теории сингулярных возмущений могут успешно применяться для приближенного решения задач оптимального управления, обоснования приближенной декомпозиции, определения структуры особых и импульсных управлений. Литература, посвященная исследованию сингулярно возмущенных задач оптимального управления, насчитывает сотни наименований (см.,

например, [64, 63, 12, 69, 33,26]).
Обычно методы теории сингулярных возмущений применяются в теории оптимального управления при построении асимптотических приближений к решению задач, вытекающих из необходимых или достаточных условий оптимальности управления. Однако при этом не учитывается вариационная природа исходной постановки задачи и неясен вариационный смысл асимптотических приближений.
В работах [3, 54] рассматривается, так называемая, прямая схема применения метода пограничных функций Васильевой А.Б. [10, 11], которой не присущи те недостатки, которые перечислены выше. Основная идея прямой схемы связана с прямой подстановкой постулируемого асимптотического разложения решения в условия задачи без перехода к необходимым условиям оптимальности управления, построением серии задач оптимального управления для нахождения членов асимптотического разложения и оценкой близости построенного приближенного решения к точному решению задачи.
Важный класс задач оптимизации представляют задачи управления линейными объектами, в которых уравнение состояния имеет вид
■^(Fx(t))=C(t)x(t)+D(u(t),t), (0.1)
где оператор F в общем случае не является обратимым. Не разрешенные относительно производной системы вида (0.1) носят в литературе название де-скрипторных (descriptor), вырожденных или сингулярных, систем обобщенного пространства состояний (generalized state-space systems), систем полусо-стояния (semistate), дифференциально-алгебраических (differential-algebraic), неявных (implicit) и обобщенных линейных систем. Такие системы встречаются в экономике (уравнение межотраслевого баланса, модель Леонтьева) [45, 57, 70] в теории электронных схем [24, 53, 57], в задачах управления [5,

Теорема 3.2. При условиях 1° - 4°, 5°, 6°, 7° для достаточно малых є > 0 в окрестности хп, ц/а, іїп существует единственное решение задач (2.21) -(2.23), и имеют место оценки
1Х-*п!с[0,Т]’ іЧ'-'і'пІф.т]- 1и-ЇЇпІс[о,т]-СєП+1' (3-36)
где постоянная с не завивисит от є.
Обозначим через х*, у, и* решение задачи (2.21) - (2.23).
Теорема 3.3. При условиях 1°, 2°, 4°, 5°, 6° - 9° существует Д0 > 0 такое, что при достаточно малых £>0 для любой непрерывной функции и^), удовлетворяющей неравенству ||и-и*||^^ < Д0, существует решение задачи (1.2),
(1.3), и справедлива оценка
ІІХ-ХІ <с||и-и*|| , (3.37)
II ІІС[0,Т] II ІІС[0,Т]
где постоянная с> 0 не зависит от є.
Доказательство . Введем обозначения 8х = х - х*, 8и = и - и* и задачу (1.2),
(1.3) перепишем в виде
(А + єВ)—= Їх8х + е(8х,8и,і,в)і 8х(0)=8х(т), (3.38)

где д(8х,8и, 1,є)=ґ(х*+8х,и* +8и, є)-Г(х*,и*,1,є)-Рх8х.
Задача (3.38) имеет вид (3.2).
При достаточно малых є и ||5и||с Т] имеем
||ё(0,8и,1,е| < с||5и||С[0>Т] > где постоянная с не зависит от 1, є. Также для любого гі>0 при достаточно малых є , бх1, 8х2, 8и справедливо неравенство