Обобщенная задача Коши и ее приложения

• Автор: Казаков, Александр Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 359 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ С ДАННЫМИ НА ДВУХ ПОВЕРХНОСТЯХ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§ 1. Простейшая обобщенная задача Копти
§ 2. Случай произвольного числа неизвестных функций
§ 3. Случай общих начальных данных
ГЛАВА II. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ С ДАННЫМИ НА ДВУХ ПОВЕРХНОСТЯХ ДЛЯ СИСТЕМЫ
С ОСОБЕННОСТЬЮ
§ 4. Простейшая обобщенная задача Коши для системы
с особенностью
§ 5. Случай общих начальных данных
§ 6. Случай системы с двумя особенностями
ГЛАВА III. ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ С ДАННЫМИ
НА ТРЕХ ПОВЕРХНОСТЯХ
§ 7. Случай характеристики кратности два
§ 8. Случай двух характеристик кратности один
§9. Применение метода диагопализацип для решения обобщенной задачи Коши с данными па трех
поверхностях
ГЛАВА IV. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ КОШИ
В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ
§ 10. Задача о резком вдвижешш в газ непроницаемого
поршня
§ 11. Задача о распаде разрыва в случае конфигурации Б279
§ 12. Задача о распаде разрыва в особой точке
§ 13. Задача о неавтомоделыюм безударном сжатии
симметричного объема газа
§ 14. Приложения обобщенной задачи Коши с: данными
на трех поверхностях
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена изучению специальной краевой задачи для систем квазилинейных уравнений с частными производными - обобщенной задачи Копти, которая отличается от задачи Копти в традиционной постановке тем, что начальные (граничные) условия ставятся не на одной, а на двух или на нескольких поверхностях. Число поверхностей не превосходит числа независимых переменных. Число условий совпадает с числом неизвестных функций. Рассмотрены случаи, когда начальные (граничные) условия ставятся не на одной, а па двух и па трех поверхностях. Термин "обобщенная задача Копти" предложен H.A. Лсдпёвым |76|. Именно к обобщенным задачам Коши с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений с частными производными приводит математическое описание течений газа с ударными волнами. Доказанные теоремы применяются для исследования таких течений.
Наиболее часто встречающейся задачей для дифференциальных уравнений с частными производными является задача Коши (ЗК): задача с начальными данными, поставленными для всех искомых функций на некоторой поверхности. Если ЗК записана в нормальной форме, то теорема Ковалевской [G7] обеспечивает существование и единственность локально аналитического решения при аналитичности всех входных данных задачи.
Одним из важных, в том числе с точки зрения приложений, направлений развития аналитической теории дифференциальных уравнений с частными производными является доказательство аналогов и обобщений теоремы Ковалевской. Для многих начально-краевых задач, имеющих содержательный газодинамический или физический смысл, вопросы существования и единственности решений в тех или иных функциональных пространствах в случае нелинейных систем полностью еще не исследованы.
Возможны различные обобщения ЗК.
Одно из направлений обобщения результата С.В. Ковалевской было развито Ш. Рнкье [129) и исходило из того, что не на координатной плоскости, а в конкретной точке задаются начальные значения для всех искомых функций (а также для производных в случае присутствия в системе производных не только первого порядка). А после этого исследовался вопрос: па каких координатных плоскостях и для каких искомых функций (а также и для производных в отмеченном выше случае) надо задать начальные значення, чтобы получившаяся задача имела единственное аналитическое решение. При исследовании сходимости рядов, решающих некоторые из возникающих при таком подходе задач, было доказано существование и единственность аналитического решения у простейшей обобщенной задачи Коши (ОЗК) с данными

на двух поверхностях.
Другое обобщение ЗК связано с увеличением числа поверхностей, несущих начальные (граничные) условия, а также введение в систему особенностей. Это не просто формальные математические обобщения. Они обусловлены наличием содержательных приложений для таких обобщений.
Как отдельный самостоятельный объект исследования ОЗК была рассмотрена С.Л. Соболевым |9ф 95| и H.A. Леднёвым |76]. К сожалению, их результаты, фундаментальные для теории нелинейных аналитических уравнений с частными производными, оказались в течение многих лот не востребованными в приложениях.
Работы В.М. Тсшукова [97, 99, 100, 102| дали "вторую жизнь" ОЗК. Оказалось, что многие важные и трудные задачи газовой динамики, связанные с: построением аналитических течений, состыкованных между собой через ударные волны, с точки зрения теории уравнений с частными производными являются ОЗК. В них начальные (граничные) условия для разных функций заданы на двух разных поверхностях.
Еще одно направление обобщения задачи Коши и теоремы Ковалевской связано с тем, что предполагается равным нулю определитель матрицы, стоящей перед вектором производных, выводящих с поверхности, несущей начальные данные. В этом случае записать систему в нормальном виде невозможно и возникает характеристическая задача Коши (ХЗК). Соответствующий аналог теоремы Ковалевской для ХЗК доказан С.П. Баутиным |б].
Особо следует отметить различие задачи Коши, характеристической и обобщенной задач Коши с точки зрения их приложений к решению содержательных задач газовой динамики. Это, несомненно, является следствием их отличия как краевых задач для систем уравнений с частными производными.
1. Задача Коши: для всех искомых газодинамических параметров при t = 0 заданы начальные данные. Требуется построить точение газа при t > 0. Существование и единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема Ковалевской [67|.
2. Характеристическая задача Коши: из точки ж = .Тц в момент времени t = ф начинает плавное движение в однородном покоящемся газе непроницаемый поршень по закону х = хp(t), ж;,(0) = жо, -'ф(О) = 0, ж"(0) ф 0. т.н. начальное значение скорости поршня совпадает со скоростью газа в точке X = Ж() В момент времени t — 0. По фоновому течению ИЗ ТОЧКИ Г = .(() начнет распространяться слабый разрыв - звуковая характеристика. Требуется построить при I > 0 течение в области между характеристикой и траекторией движения поршня. Существование и единственность локально аналитического решения этой задачи обеспечивает теорема, доказанная C.I I. Баутиным
Таким образом, при известных р*, qг построение и;+ц +1 можно осуществить следующей процедурой. Вначале по формулам (1.3.7) через р/. сц определить ф;+1 = (ф)х,ф1-1Х, ;1,г) Затем из части соотношений (1.3.5) найти хш = (X/,ь Хг-1,2; ; XI,г) через т/ц+1, р;. Далее по формулам (1.3.8) определить и/+1 через Х/+1,Р/ . Из трех последних формул (1.3.6) найти У/+1 через и/+ь фш, (Ц.
1.4. Доказательство сходимости рядов
Сходимость рядов (1.3.1) доказывается методом мажорант. Говорят, что функция
тд,)= Е СЧ1)
ЙЛеМо
мажорирует функцию и;(х, у) (IV 3> ги), если Ифу, > |г(;ц.ц|. И тогда из сходимости ряда (1.4.1) в некоторой окрестности точки (х = 0, у = 0) следует сходимость в этой же окрестности ряда (1.3.1). Далее будут использованы еще такие свойства мажорант. Если у функции
00 ТД1*
= Ё ~1Г (ы;2)

констангы Иф таковы, что Иф > шах |Иф./2|, то ТИДж +/у) 1Г(./'./;)
1+2=
Тогда из сходимости в некоторой окрестности точки 1 = 0 ряда (1.1.2) с ю-дуст, что ряд (1.4.1) сходится в некоторой окрестности точки (.» = 0. у — 0). Если аналитические в окрестности точки О функции Д.Д, Дз от конечного числа переменных мажорируют нуль и /д(О) < 7Ч) -сонн!, то функции
Д} = Д + Г‘>. = Тц/ф Д = -0-- также являются аналитическими,
х — >з
мажорируюпщмп нуль функциями.
Для задачи (1.1.3) мажорантная задача строится следующим образом.
Вначале выбираются положительные константы М. р такие, чтобы функция

Н(х, у, и, V) = т -=[(.?; + у + и + ь)(иу + г;.,.) + 1]
(.т + у + и + V)

мажорировала функции г. Это возможно в силу аналитичности функций 01, /ц, С. (1., /, д. Из условий (1.2.3), (1-2.4) и их следствии - неравенств (1.2.5) - следует, что существуют константы М, М2, щ такие, что при всех к, I & N выполнены неравенства
м > 1, М2 >1,0 < щ < 1,
//.+/-1
< -Лф?*, шк ( ][ |д-| ] < Л7ц/(,