Приближенные симметрии и решения дифференциальных уравнений с малым параметром

• Автор: Багдерина, Юлия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Инварианты многопараметрических приближенных групп преобразований

§1.1. Критерий инвариантности

§1.2. Полнота систем уравнений на инвариант приближенной группы

§1.3. Совместность систем уравнений на инвариант приближенной группы

Глава 2. Редукция дифференциальных уравнений с малым параметром

§2.1. Инвариантное представление уравнений с малым параметром

§2.2. Редукция дифференциальных уравнений в частных производных

§2.3. Понижение порядка обыкновенного дифференциального уравнения

§2.4. Интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений с широкой группой симметрий
Глава 3. Приближенные симметрии и решения двумерного нелинейного диффузионного уравнения с малой конвекцией
§3.1. Групповая классификация по приближенным симметриям диффузионно-конвективного уравнения
§3.2. Приближенно инвариантные решения диффузионно-конвективного уравнения
Заключение
Литература

Введение
Несмотря на развитие ЭВМ, аналитические методы до сих пор остаются эффективным способом исследования дифференциальных уравнений, возникающих в прикладных задачах. Групповой анализ представляет собой один из таких методов, позволяющий, в частности, находить отдельные классы точных решений изучаемых дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных). Ценность точных частных решений линейных и нелинейных уравнений в частных производных состоит в том, что они позволяют судить о возможном поведении реальных физических процессов, описываемых этими уравнениями. Также они могут быть полезны при построении и обосновании численно-аналитических методов решения уравнений математической физики, могут использоваться как модельные при сравнительном анализе численных методов.
Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в 1870-90 гг. в работах С. Ли. К тому времени были развиты многочисленные частные приёмы интегрирования отдельных классов обыкновенных дифференциальных уравнений. С. Ли в своих трудах систематизировал их, используя созданную им теорию непрерывных групп преобразований [58]. Он дал классификацию всех обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка по допускаемым группам и тем самым описал всю совокупность уравнений, понижение порядка или полное интегрирование которых возможно осуществить групповыми методами.
Благодаря теоремам С. Ли о соответствии между группами и алгебрами Ли стало возможным сводить сложные нелинейные задачи к линейным. Для решения этой проблемы была создана инфинитезимальная техника исследования [30, 39, 41, 58]. Группе преобразований однозначно соответствует алгебра Ли дифференциальных операторов первого порядка. При таком переходе полностью сохраняется структура изучаемых
объектов и удается получить инфинитезимальные критерии инвариантности.
Помимо интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, применение группового анализа связано с нахождением инвариантных решений уравнений в частных производных [13, 14, 28, 36, 42]. Большинство известных точных решений имело групповую природу (например, автомодельные решения), но при их отыскании методы группового анализа дифференциальных уравнений не использовались. В работах 1958-1962 гг. Л.В. Овсянников показал возможности применения допускаемых групп преобразований при построении точных частных решений и качественном анализе уравнений математической физики.
Методы классического группового анализа позволяют выделить среди всех уравнений математической физики уравнения, обладающие широкой группой симметрий, которая даёт возможность находить их решения. Однако такие зфавнения, как правило, описывают реальные физические процессы лишь в первом приближении. Добавление в уравнения малого возмущения, отражающего дополнительные факторы, обычно ухудшает их групповые свойства. В качестве одного из возможных решений проблемы построения симметрий, устойчивых относительно малых возмущений дифференциальных уравнений, в работах В.А. Байкова, Р.К. Газизова и Н.Х. Ибрагимова была предложена теория приближенных групп преобразований [8]. Другой подход к решению этой проблемы разрабатывался В.И. Фущичем и его коллегами [54].
В рамках теории приближенных групп преобразований на основе теоремы Ли для приближенных групп преобразований было развито их ин-финитезимальное описание и доказан критерий приближенной инвариантности, который используется для вычисления приближенных симметрий уравнений с малым параметром [9, 11, 12, 15]. Метод поиска частных решений, аналогичный существующему в точном групповом анализе, применялся для построения примеров приближенно инвариантных решений

Глава 2. Редукция дифференциальных уравнений с малым параметром
§2.1. Инвариантное представление уравнений с малым параметром
В данной главе рассматриваются методы решения дифференциальных уравнений с малым параметром, основывающиеся на теореме об инвариантном представлении уравнений, допускающих приближенную группу С, преобразований. Согласно этой теореме, уравнения могут быть записаны в эквивалентной форме, определяемой инвариантными функциями группы. В §2.2 с её помощью показана возможность нахождения приближенно инвариантных решений уравнений в частных производных. При этом решения, инвариантные относительно /--параметрической группы приближенных преобразований уравнения, являются решениями некоторого редуцированного уравнения, содержащего меньшее число независимых переменных. В §2.3 теорема об инвариантном представлении применяется для обоснования метода понижения порядка обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром, допускающего приближенную группу преобразований. В §2.4 описан метод получения интегралов систем ОДУ с малым параметром.
Будем рассматривать уравнения
Д1'(г,£) = Д^(г) + еД(1)(г)+ ... +£^ = 0(0, и = I, ...,ш, (2.1)
инвариантные относительно приближенной группы преобразований, порождаемой операторами вида
Уоо = ^ао,(0) + е^а0,(1) + • • • + £Р^ао,(р) + °(£Р)> а0 = 1, • • • ДО)