О краевых задачах с негладкими и разрывными решениями

• Автор: Давыдова, Майя Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 102 с.

Оглавление
Введение

1 Краевая задача с непрерывными решениями

1.1 Вариационная мотивация избранного подхода

1.2 Разрешимость краевой задачи

1.3 О достаточных условиях экетемума квадратичного функционала

1.4 Интегральная обратимость краевой задачи с непрерывными решениями

1.5 Осцилляционность спектра задачи с производными по мере

1.6 Оценки функции Грина

2 Нелинейная краевая задача с интегралом Стилтьеса

2.1 Непрерывная ветвь нелинейной спектральной задачи

2.2 О числе решений краевой задачи с «монотонной нелинейностью»
2.3 Нелокальные условия существования хотя бы одного знакоопределенного решения
2.4 Достаточное условие существования второго решения
2.5 Случай сильной нелинейности
3 Краевые задачи с расширенным интегралом Стилтьеса
3.1 Необходимые сведения о я-интеграле
3.2 Вариационная мотивация поточечного подхода
3.3 Функция Грина краевой задачи с разрывными решениями
3.4 Оценки функции Грина краевой задачи с разрывными решениями

3.5 Оценка вторых собственных значений спектральной задачи с
разрывными решениями
Литература

Введение
В последнее десятилетие интенсивно изучаются качественные свойства решений уравнения

Lu = -(pup (ж) + (pwJJC0) + J и d[Q} = F(x) - F(x) (1)

и соответствующая ему линейная спектральная задача

Lu = X J и d[M],u(0) - и(1) - 0. (2)

Здесь p,Q,F — функции ограниченной на [0; 1} вариации; /а(.т) и М(.т) — строго возрастающие функции; производная иL понимается как производная по мере (производная Лебега, если р(х) = х, и производная Стилтьеса в общем случае); обрамление d[Q] функции Q(x) квадратными скобками подчеркивает, что речь идет об интеграле, понимаемом как 7г-интеграл, и совпадающего с интегралом Стилтьеса в случае непрерывной и{х) (когда ji{x) = х).
Если функции Q(x) и F(x) окажутся гладкими (dQ = Q'dx и dF — F'dx), то обе части (1) на решении могут быть продифференцированы, уравнение (1) принимает вид
-(КХ + = К (3)
Последнее уравнение оказывается совсем привычным при ц(ж) = х (или гладкой ii{x)). Таким образом, уравнение (1) и задача (2) адекватны классической ситуации, изучаемой в теории Штурма-Лиувилля в случае гладких параметров.
Допускаемая возможность наличия у параметров уравнения особенностей как типа 5-функций, так и более сильных, которые возникают, например, в случае разрывных решений, когда 5-образные сингулярные особенности присутствуют уже у первых производных, усугубляется вторым дифференцированием.

1.4 Интегральная обратимость краевой задачи с непрерывными решениями
В этом параграфе устанавливается интегральная обратимость задачи

-(ри'х) о)+У и(1я=р(х) - т - М('°)>
0 (1.4.1)
-(ри'ЛО) +7ои(0) = /о,
„ (р<)(0 +71«(0 = Л,
при условии невырожденности последней.
В дальнейшем мы будем предполагать, что /0 — /х = 0, т. е. задача (1.4.1) полуоднородная. Также будем считать, что 70 и 71 конечны.
Пусть (ж) и <£>2 (ж) — решение однородного уравнения

-04)(ж) + Iи <К2 = -рих( о),
(1.4.2)
удовлетворяющее начальным условиям

соответственно.
и(0) =р(0), <(°) = 7о,
и(1)=р(1), и'(1) = -7ь
Определение 1.4.1. Функцией Грина краевой задачи (1-4.1) называется непрерывная по совокупным переменным функция 0(х) в), такая, что решение (1.4.1) представим в виде

и{х) — J (7(ж, в) сП7^).