Достаточные условия существования инерциального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией

• Автор: Чалкина, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Оглавление
Введение

1 Понятие инерциального многообразия и волновое уравнение

с сильной диссипацией

1.1 Инерциальное многообразие и теорема о его существовании для абстрактного дифференциального уравнения

1.2 Начально-краевая задача для волнового уравнения с сильной диссипацией

1.3 Спектр линейной задачи для волнового уравнения с сильной диссипацией

2 Теоремы о существовании инерциального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией

2.1 Спектральная щель в действительной части спектра

2.1.1 Формулировка теоремы

2.1.2 Норма Нк, к = 1

2.1.3 Норма в Нос
2.1.4 Доказательство теоремы
2.2 Спектральная щель в недействительной части спектра
2.2.1 Формулировка теоремы

2.2.2 Норма в подпространствах 7їк, к = 1
2.2.3 Норма в подпространствах Нк, к = к + 1
2.2.4 Норма в 'Н<Х1
2.2.5 Доказательство теоремы
З Следствия и частные случаи
3.1 Условия спектральной щели в действительной части спектра
3.1.1 Случай малых коэффициентов диссипации
3.1.2 Случай больших коэффициентов диссипации
3.2 Условия спектральной щели в недействительной части спектра
3.2.1 Нелинейная функция зависит только от и: уравнение
ии - + 2ушщ - Аи - /{и)
3.2.2 Нелинейная функция зависит только от щ: уравнение
ии - 2тяАи* + 2ти,щ - Агг = д(щ)
Приложение
А Теорема существования и единственности
А.1 Теорема существования и единственности: формулировка и общая схема доказательства
А.2 Априорные оценки
Список литературы

Введение
В диссертационной работе исследуется асимптотическое (при больших временах) поведение решений сильнодиссипативного волнового уравнения, а именно возможность построения инерциального многообразия. В диссертации рассматривается начально-краевая задача для квазилинейного сильнодиссипативного волнового уравнения вида
ии - 275Д щ + 2т-А и = /(и) + д(щ), (0.1)
в ограниченной области £2 С Мп с условиями Дирихле на границе, дополненного начальными условиями
И<=0 = ио(х) е #«№)> щ|<=0 =ро(х) € 12(П). (0.2)
Уравнения такого типа возникают во многих физических приложениях, например, уравнение (0.1) описывает теплопроводность третьего типа в соответствии с теорией Грина-Нагди (см. 114, 15, 16]). Возможны и другие физические интерпретации, такие как теория перехода Джосефсона (возмущенное уравнение эш-Гордона для потока, см. [18]) или движение вязкоупругих тел типа Кельвина-Войта (см. [9, 19]).
Задача (0.1), (0.2) исследовалась многими авторами. Для уравнений с нелинейной зависимостью только от и (то есть при д = 0) глобальное существование и диссипативность сильных, лежащих в регулярном фазовом

Применяя леммы 2.2 и 2.5 к вектору у = у — у2, имеем
1Ы12 = Е ЬЛ1 + Иг/ооЬ > Ы.||зд||2 + ЫЫ12)+
к=1 Ъ1и “г

7ту+1 7,4+74(7Л|1““"2+уы|2) 7 «й»+.
• (7л(Е1к112-Ы1и2)+ЦЕ1Ы12+1Ьоо112))
&=1 к

7* ** (тЛ1М|2 + ЧИ2)- (2.13)
7А + 7А
При переходе в последнем равенстве мы применили лемму 2.3. Из неравенств (2.12) и (2.13) следует, что
Иг/О - ЫШ + /тА||м1 - и2||2 + Ум
Таким образом, глобальная константа Липшица Ь для функции Л(у) равна

1и Т 7*1р
у/'У* ~ А*
Определим Р — ортопроектор на //-мерное пространство Л1 = Р(Л) и <5 = М — Р — ортопроектор на Ли = Я{Л). Если обозначить т = Ддг, М — цы+1, то неравенства (2.7), (2.9) примут вид (1.4), а условие спектральной щели (1.6) — вид 2Ь < /1дг+1 — /Ндг, что эквивалентно условию (2.2).
Таким образом, условия теоремы 1.1 выполнены, а значит, в пространстве И существует инерциальное многообразие, размерность которого равна размерности пространства Л1, т.е. N.
Теорема доказана.