Регулярность решений квазилинейных эллиптических систем уравнений с условиями сопряжения

• Автор: Осман Осман Мохамед Эль Хамахми
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 94 с.

Содержание
Введение
1. Регулярность решения задачи с условиями сопряжения для недиагональных линейных эллиптических систем в пространствах Кам-панато
1.1. Постановка задачи
1.2. Некоторые свойства пространств Кампанато
1.3. Основные результаты главы
1.4. Модельная задача с постоянными коэффициентами
1.5. Задача с переменными коэффициентами
1.6. Доказательство теорем 1.2 и 1.
2. Регулярность решения задачи с условиями сопряжения для недиагональной квазилинейной эллиптической системы
2.1. Постановка задачи и формулировка основного результата..
2.2. Модельная задача в шаре
2.3. Доказательство теоремы 2.
3. Регулярность минимайзера одного класса квадратичных недифференцируемых функционалов
3.1. Постановка задачи, формулировка основного результата
3.2. Модельная задача в шаре
3.3. Доказательство теоремы 3.
Литература
Введение
Многие физические задачи приводят к рассмотрению уравнений второго порядка эллиптического, параболического или гиперболического типа с разрывными коэффициентами и дополнительными условиями на решение в точках разрыва коэффициентов. К ним, например, относятся задачи о стационарном и нестационарном распределении температуры в телах, составленных из разнородных кусков. С точки зрения математики они состоят в решении краевой задачи для какого-либо уравнения (или системы), коэффициенты которого могут терпеть разрывы первого рода. При этом предельные'значения искомого решения и его производных по разные стороны поверхностей разрыва коэффициентов должны удовлетворять определенным условиям согласования. Для уравнений второго порядка таких условий два. Это чаще всего: непрерывность искомого решения и непрерывность его производной по конормали к поверхности раздела сред. Следуя [4], мы называем задачи такого рода задачами дифракции.
В диссертации рассматриваются линейные и квазилинейные системы уравнений с недиагоналъной главной матрицей, определенные в области, разделенной гладкой поверхностью на две части. Предполагается, что элементы матрицы могут иметь скачок первого рода при переходе через поверхность раздела области, а решение удовлетворяет условиям сопряжения на этой поверхности. Изучается проблема регулярности обобщенных решений такой задачи.
В случае одного уравнения подобная задача хорошо изучена (см., например, Е. И. Ким [1], А. А. Самарский [2], О. А. Олейник [3]). В заметке O.A. Ладыженской [4] было показано, что такого типа задачи могут быть сведены простым приемом к задачам на нахождение обобщенных

решений обычных краевых задач, для которых разработаны различные методы исследования. Тем самым была доказана разрешимость задач с условиями сопряжения для уравнений в обобщенной постановке при весьма слабых ограничениях на все данные задачи.
Исследован также вопрос о том, когда обобщенные решения задач дифракции непрерывны в 12 и когда они имеют ту или иную гладкость в 12* и принадлежат И^2 (12*0, к = 1,2, где область 12 (ограниченная область) предполагается состоящей из 121 и 122 (так что 12 = 121 и 122), отделенных друг от друга поверхностью Г, с условиями сопряжения на
Более того, в работах О. А. Ладыженской [4, 5, 7], O.A. Ладыженской, В. А. Солонникова [6], O.A. Олейник [8, 9] были описаны приемы исследования улучшения дифференциальных свойств этих решений по мере улучшения дифференциальных свойств коэффициентов и свободных членов уравнений, поверхностей раздела. Однако в [4] было отмечено, что получаемые на этом пути результаты для уравнений эллиптического и параболического типов заведомо грубы. Например, классичность обобщенного решения получалась при условии, что коэффициенты уравнений вне поверхности раздела и функции, определяющие эти поверхности, обязаны иметь обобщенные производные порядка п.
В работах В. А. Ильина, И. А. Шишмарева [10], О. А. Ладыженской,
H. Н.Уральцевой [11, 12], О. А. Ладыженской, В. Я.Ривкинд, Н.Н.Ура-льцевой [13] использован другой метод исследования этого вопроса для эллиптического случая, при котором предположения о данных задачи близки к минимально возможным. Так, в работе [13] для уравнения
в ограниченной области 12 рассматривается следующая задача: область

(0.1)

Тогда из (1-40) при г = — следует, что
Ф(р,ж°) < с6(^-)п~£Ф(Я0,х°), р < :у, (1.41)
где постоянная с$ зависит от е, пг-, ||Д-|| и не зависит от 7?о.

Неравенство вида (1.41) при р > —- очевидно. Таким образом оцен-

ка (1-37) получена, о
Замечание 1.6. Пусть число в £ (0,1) фиксировано, Вд(х°) С

Вх(0), где ж0 £ В!_в(0), Я < -. Тогда при любом фиксированном е >

справедлива оценка
I их2 (1х < с(^)п~£ I их2дх, р < Я.
ДР(*°) Вл(х°)
Чтобы доказать справедливость этой оценки будем различать ситуации а) с? = <4186 (х°, у) < — и б) <2 > — .В случае а) достаточно применить стандартную процедуру ” склеивания” внутренней оценки Кампанато (1.34) и оценки (1.37). При этом следует отдельно рассмотреть случаи:

р £ (0,(2], р £ р £ (—,Л]. В ситуации б) данная оценка есть
следствие неравенства (1.34).
Теорема 1.7. Пусть и - решение обобщенной задачи (1.12) в В — -В].(0) и число в > 0 фиксировано произвольно. Тогда при любом е > 0 их е £2,п+2-*(я+ в) и С2’п+2-Е(В^_в),
I П^а: II ||,п+2—п+2-е-,В~_в - С(^ £) Ниж Нг.В- (1-42)
Замечание 1.7. Прежде чем доказывать теорему 1.7 заметим, что из утверждения этой теоремы следует непрерывность по Гельдеру первых производных функции и в В±_@ и в В^д с произвольным показателем 7 £ (0,1), а также оценка