Математические вопросы колебаний тела в вязкой жидкости

• Автор: Гуда, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 153 с. : ил.

Глава 1. Постановка задачи

§ 1.1. Уравнения совместного движения жидкости и тела

п. 1.1.1. Описание задачи и размерные уравнения

п. 1.1.2. Безразмерные уравнения

п. 1.1.3. Другое определение момента силы вязкого трения

§ 1.2. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве

§1.3. Интегродифференциальное уравнение

Глава 2. Задача с постоянной по времени упругой силой

§2.1. Общие свойства линеаризованного оператора

п. 2.1.1. Специальное матричное представление оператора Л

п. 2.1.2. Конечномерное окаймление оператора

п. 2.1.3. Общие свойства оператора Л
§2.2. Спектр малых колебаний системы жидкость-тело
п. 2.2.1. Дисперсионное уравнение
п. 2.2.2. Исследование зависимости корней дисперсионного уравнения
от параметра х
§ 2.3. Асимптотика мнимых собственных значений при коо
п. 2.3.1. Построение асимптотики функции/х
п. 2.3.2. Вычисление момента силы вязкого трения
п. 2.3.3. Обоснование асимптотики функции ц
п. 2.3.4. Асимптотика собственных значений
§2.4. Обоснование линеаризации и затухание старших производных возмущений
п. 2.4.1. Абстрактная теорема
п. 2.4.2. Оценка резольвенты
п. 2.4.3. Неравенство коэрцитивности
п. 2.4.4. Теоремы об устойчивости и затухании старших производных
возмущений
§2.5. Глобальная асимптотическая устойчивость состояния покоя
Глава 3. Задача с модулированной упругой силой
§3.1. Разрешимость линеаризованной задачи
§3.2. Спектральная задача
§3.3. Дисперсионное уравнение
п. 3.3.1. Сходимость последовательностей Dn и Ajn и обоснование
дисперсионного уравнения
п. 3.3.2. Периодичность функций D и Д
п. 3.3.3. Определитель возмущения
§ 3.4. Особые точки определителя Хилла
§3.5. Разложение определителя Хилла на простейшие дроби
п. 3.5.1. Основная теорема
п. 3.5.2. Вспомогательные оценки функций do и £
п. 3.5.3. Доказательство основной теоремы
§3.6. Расположение мультипликаторов Флоке
ri. 3.6.1. Результаты, основанные на разложении определителя Хилла
на простейшие дроби
п. 3.6.2. Результаты, основанные на оценках оператора Fa
§3.7. Асимптотики показателей Флоке
п. 3.7.1. Случай малой амплитуды модуляции
п. 3.7.2. Случай большой частоты ш
п. 3.7.3. Случай большйх частоты и амплитуды модуляции
§ 3.8. Области устойчивости и неустойчивости
п. 3.8.1. Случай гармонической модуляции
п. 3.8.2. Случай ангармонической модуляции
§3.9. Дисперсионное уравнение в цепных дробях
§3.10.Описание вычислений
п. 3.10.1. Вычисление функции do
п. 3.10.2. Вычисление спектра Флоке
п. 3.10.3. Вычисление нейтральных кривых
§3.11.Полнота решений Флоке
Список литературы
Система обозначений

Общая характеристика работы. Система «жидкость+твёрдое тело» — классический объект гидродинамики. Однако, исследования п этой области далеки от завершения. В частности, это утверждение относится к тем ситуациям, в которых невозможно пренебречь влиянием вязкости жидкости. Таковы, например, вращения погруженного в жидкость осесимметричного тела вокруг своей оси. При этом область течения не меняется, так что взаимодействие тела и жидкости полностью определяется силами вязкого трения. Движения такого рода изучаются в данной диссертации. Точнее, речь в ней идет о крутильных колебаниях твёрдого тела вращения внутри сосуда произвольной формы, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. Например, тело может быть закреплено на тонком подвесе, влиянием которого на жидкость можно пренебречь1. Колебания вызывает сила упругости подвеса, момент которой с предполагается линейной функцией угла (р поворота тела. Для данной системы исследуется устойчивость и неустойчивость состояния покоя. Особое внимание уделяется влиянию заданной периодической по времени модуляции упругой силы. Такая ситуация может быть реализована в эксперименте, например, за счёт периодического изменения длины закручивающегося участка подвеса при помощи зажима.
В диссертации развивается строгая математическая теория, не связанная дополнительными предположениями о вязкости жидкости, характере модуляции или формах тела и сосуда. Полученные общие результаты конкретизируются в различных частных случаях, включая крутильные колебания шара, погруженного в концентрический сферический сосуд.
Работа организована следующим образом. В первой главе излагается постановка задачи, вводятся безразмерные переменные и обсуждается сведение задачи к интегродифференциальному уравнению и к дифференциальному уравнению в банаховом пространстве. Во второй главе исследуется простейший случай, когда упругий момент не зависит явно от времени: МеШгс — —■жр, где <р - угол отклонения тела от положения равновесия (р = 0, к - коэффициент жесткости упругой силы. Результаты этой главы носят отчасти вспомогательный характер, поскольку физически очевидно, что колебания данной системы затухнут со временем вследствие вязкой диссипации энергии. Исследование этого случая существенно используется в третьей главе, где предполагается, что жесткость подвеса есть периодическая функция времени так, что упругий момент определяется равенством: Ме1азцс = —я(1 + Ь(и)£))<р>, где и - среднее значение жесткости, Ь(т) - 27г-периодическая относительная модуляция с нулевым
’Все результаты диссертации непосредственно переносится на задачу о крутильных колебаниях тела с вращателыго симметричной полостью, заполненной вязкой жидкостью, вокруг оси вращения полости.

Для вывода (2.4.22) достаточно заметить, что проектор П ограничен в §9 (см. [73] гл.1 лемму 5.1), и воспользоваться неравенством Гельдера. Применим теперь теорему 2.4.1, в которой положим X = 8Р+Е2, ¥ = §9-Ш2, ¥1 = §91, ¥2 = 1Ц2; операторы В : х К2 —> §9, и В2 : §р х К2 —> L?2
определяются равенствами
Тогда, применяя следствие 2.4.1 и мультипликативное неравенство (см.
заключаем, что операторы В и В2 имеют относительно А дробные степени
В силу (2.4.21) имеем: 0 < Дід < 1. Далее тем же образом выводим, что оператор вложения пространства ¥ в пространство X имеет относительно оператора А дробную степень а
При этом 0 < а < 1/2, так как, согласно (2.4.21), q~l < 2р-1, ар-1 < 1/3.
Условие (2.4.2) тоже выполнено. Это сразу следует из (2.4.24), так как р > 3. Остается сослаться на теорему 2.4.1, и теорема 2.4.4 доказана.
В условиях теоремы 2.4.4 возмущения затухают не только по норме х Е2, но и в более сильном смысле. Методами теорем 8.1 и 8.2 [73], гл.З доказывается справедливость следующего утверждения.
Теорема 2.4.5. Пусть Д., 5С € С00, тогда в условиях теоремы 2.4-4 решения w(^) бесконечно дифференцируемы при Ь > 0, и —>
при £ —> 4-оо для любых натуральных пик.
Вж — и, В^ч — Чй.
[124])
(2.4.23)
(2.4.24)
(2.4.25)