Решение смешанных задач и оптимизация граничных управлений для уравнения продольных колебаний составного стержня

• Автор: Рогожников, Алексей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Классические постановки смешанных задач, описывающих продольные колебания стержня с присоединенными массами
1.1. Формулировка классической смешанной задачи
1.2. Единственность решения
1.3. Вспомогательные определения
1.4. Существование классического решения для неоднородной правой части
1.5. Финально-краевая задача
Глава 2. Обобщенное решение смешанной задачи о возбуждении колебаний в составном стержне с точечными нагрузками
2.1. Классическая постановка задачи о возбуждении колебаний в изначально покоящемся стержне при помощи граничных условий
2.2. Формулировка смешанной задачи
2.3. Единственность решения
2.4. Явный вид решения смешанной задачи
Глава 3. Метод построения явного вида решения
Глава 4. Оптимальное управление колебаниями составного стержня
4.1. Постановка задач о возбуждении колебаний при помощи граничного управления
4.2. Решение задачи о возбуждении колебаний в частном случае
4.3. Приведение задач граничного управления к эквивалентному виду
4.4. Вспомогательные утверждения о матрицах
4.5. Решение задачи о возбуждении колебаний за кратные промежутки времени .
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы. Главным предметом изучения в настоящей диссертационной работе является задача граничного управления продольными колебаниями в составном стержне, состоящем из конечного числа участков, на каждом из которых стержень обладает постоянными характеристиками. Исследуемые колебания описываются одномерным разрывным волновым уравнением.
Волновое уравнение является весьма общей математической моделью для большого числа физических процессов, описывающих механические колебания различных конструкций, колебания электромагнитного поля, распространение акустических волн в жидкостях и газах.
В приложениях возникают задачи, связанные с генерацией определенного режима колебаний в системе или с успокоением имеющихся нежелательных вибраций в различных конструкциях. Одним из часто применяемых методов для решения указанных задач является граничное управление, при котором посредством некоторых механизмов производится управление состоянием системы на границе (например, заданием смещения на конце или приложением силы) или какой-то её части. Отметим, что подобный подход не является единственно возможным и другое активно развивающееся направление — распределенное управление системами. Вне зависимости от типа управления ставится вопрос о возможности перевода системы из некоторого начального состояния в конечное; в исследуемом случае состояние (как начальное, так и конечное) описывается профилем смещения и профилем скорости.
Исследование задач управления системами с распределенными параметрами в данный момент представляет собой довольно обширный раздел математики. В круг вопросов, рассматриваемых обычно при изучении вопросов управления, входят возможность полного управления (т.е. разрешимость задач управления при произвольном конечном состоянии), условия на конечное (и начальное) состояние, при которых задача становится разрешима, а также поиск оптимального в каком-то смысле управления, если задача управления разрешима.
Волновое уравнение в этом плане исследовано весьма тщательно, и имеется множество результатов, касающихся разных случаев. Одними из первых и самых значимых являются результаты Ж. Л. Лионса [7, 8], который предложил метод одновременного исследования задачи управления и задачи наблюдения, получивший название Hilbert Uniqueness Method (HUM). Указанный метод позволил исследовать многомерное волновое уравнение (одномер-
ное входит как частный случай), кроме того, Лионсом был предложен способ синтеза граничного управления, основанный на методе HUM. Стоит отметить, что область применения разработанного подхода не ограничивается волновым уравнением: Лионе и его последователи многократно его обобщали на различные системы.
Другой результат, получивший в литературе название Geometric Control Condition (геометрическое условие управляемости), был представлен в статье [3], и описывает точные условия на подмножество границы системы, на котором производится граничное управление, и время управления, при которых задача граничного управления для многомерного волнового уравнения становится разрешима.
В работах [21, 22] Ф.П. Васильева и соавторов задачи граничного управления изучаются в свете новой интерпретации двойственности линейных задач управления и наблюдения, предложенной в статье [19]. В указанных работах разработаны методы численного построения решения и показана их сходимость. Отдельно отметим впервые представленные в работе [CG] М. М. Потаповым взаимодвойственные аппроксимации двойственных задач, для которых была доказана сходимость решений не только по невязке, но и по аргументу.
Другой, более наивный, подход к численному решению задачи управления системы с распределенными параметрами, состоит в применении пространственной дискретизации уравнения, т.е. замене дифференциального уравнения в частных производных достаточно боль-, шой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, после чего задача управления формулируется для полученной дискретизации и применяются хорошо известные методы оптимального управления системами дифференциальных уравнений. Этот подход довольно активно развивается Э. Зуазуа. В своей статье [12] он описывает проблемы, с которыми сталкивается этот подход на примере одномерного волнового уравнения: полученные численно управления расходятся при уменьшении шага пространственной сеткн. Им были объяснены причины этого явления и предложены различные регуляризации задачи, которые он последовательно исследовал в работах [9, 12, 13].
Результаты по смешанным задачам и задачам граничного управления для уравнения колебаний в системах с кусочно-постоянными характеристиками в основном касаются уравнений на квазнодномерных системах (уравнения на графах, как часто называют этот раздел). Задачи, рассматривавшиеся авторами, весьма близки к теме настоящей диссертации, поскольку поведение решений смешанных задач крайне похоже (в частности, в обоих случаях пространство делится на участки, на каждом из которых имеется однородное волновое уравнение, а в точках соприкосновения участков действуют определенные условия сопряжения). С одной стороны, рассматриваемая в настоящей работе задача об управлении колебаниями

где Ш{-1 и го;,+1 — следы функции шфх, £) па левом и правом концах г-го участка:
гиг_х(£) = шфх*_1,£) teШ., цу>+1(£) = гнфх,,£) { еЕ.
Потребуем3 от функции /(х, £) непрерывной дифференцируемости в <5 и принадлежности

её носителя объединению незамкнутых прямоугольников У <5;, благодаря этому все функ-

ции /фх, £) будут непрерывно дифф>ерепцируемыми в К2.
Перед тем, как доказывать собственно теорему, докажем несколько технических лемм. Для краткости введем обозначение для оператора Даламбера

а~дИ а дх2'
Лемма 1.1. Функция шфх, б) 6 С2(Е2) при г = 1,2,..., тг, для неё выполнены равенства в начальный момент времени шфх, 0) = 0, |^и;фх, 0) = 0 при х € [х,_х, X;] и в прямоугольнике справедливо
□а;шфх, £) = /(х, £). (1-16)
Доказательство. Распишем свертку из определения функции щфх, £):
г ж+а»(£—т) ь х+<ч(Ь—т)
шфх,£) = в{(х,б) * /фх,£) = ^ J дт У Му,т)ду = ^ J йт ^ /фу,т)ф/.
—оо х—а^Ь—т) 0 х—а^Ь—т)
Второе равенство выполнено, поскольку /фу, т) = 0 при т < 0. Функция гсфх, 4) является решением задачи Коши для уравнения колебаний (1.10) на всей прямой с однородными начальными данными в момент £ = 0 [70, стр. 64], из чего сразу следует принадлежность классу С2 в полуплоскости £ > 0 и классу С1 в её замыкании, выполнение равенств в начальный момент времени и уравнения (1.10).
Носитель функции /г(у, т) лежит внутри прямоугольника б/, т.е. в окрестности границ (Эх функция зануляется. Поэтому /фу, т) = 0 при г < £0 для некоторого положительного £0. Заключаем, что мфх, £) зануляется в полуплоскости £ < £0. Поскольку шфх,£) принадлежит классу С2 в полуплоскости £ > 0 и зануляется при £ < £0, то она дважды непрерывно дифференцируема во всей плоскости (х, £). □
3 Обратим внимание, что мы наложили дополнительные ограничения на функцию /(х, г). С одной стороны, это упрощает выкладки, с другой стороны, в дальнейшем нам не потребуется более общий случай.