Системы гиперболических уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры Ли

• Автор: Бормисов, Антон Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 74 с.

Оглавление
Введение

§1. Построение формальной Ь — А-пары,.соответствующей системе

§2. Характеристические алгебры

§3. Аффинные алгебры Каца-Муди

§4. Связь характеристических алгебр системы и алгебры соответствующей системе

§5. Симметрии вида ір(ро, ••• ,рт)

§6. Симметрии вида ^(<7о> • • • > Чп)

§7. Классификация двухкомпонентных систем типа Рик-

§8. Примеры
Библиография

Введение
После известной работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [32] в теории интегрируемых нелинейных уравнений и систем начался бум исследований. При этом само понятие интегрируемости исследователями понимается по-разному. В частности, в ряде работ понятие интегрируемости используется в узком смысле, а именно, нелинейное уравнение считается интегрируемым, если оно обладает симметриями сколь угодно высокого порядка. Такая точка зрения позволяет провести классификацию по признаку интегрируемости ряда классов уравнений и систем эволюционного типа (см. например, работы А.Б.Шабата, В.В.Соколова, Р.И.Ямилова, А.В.Михайлова, В.Г.Дринфельда, С.И.Свинолупова и В.Э.Адлера [24, 26, 11, 25, 1]). Однако, симметрийный подход при классификации интегрируемых гиперболических систем приводит к значительным вычислительным трудностям даже в простейшей ситуации (см. например, работу А.В.Жибера, А.Б.Шабата [18]). Поэтому эффективное исследование интегрируемости уравнений и систем гиперболического типа требует иных подходов. В частности, в работах А.В.Жибера и В.В.Соколова [16, 15, 17] обсуждается подход связанный с инвариантами Лапласа.
В данной диссертации развивается новый метод исследования интегрируемости основанный на изучении характеристических алгебр системы и некоторой алгебры Ли естественным образом связанной с рассматриваемой системой. Понятие характеристической алгебры было введено в работе А.Н.Лезнова, В.Г.Смирнова, A.B.Шабата [23] для систем гипер-

болических уравнений вида
Ку = Ри1,...,иг), i = 1>->Г'
Это понятие подробно обсуждалось в работе А.Б.Шабата, Р.И.Ямилова [27], в которой рассматривались системы вида
игху = ехр(пг), Уг = аци1 + ... + щгиг, г = 1,..., г (1)
и был получен следующий результат. Характеристическая алгебра системы (1) конечномерна тогда и только тогда, когда А = (а^) — матрица Картана полупростой алгебры Ли. Более того, в этом случае характеристическая алгебра Ли совпадает с нильпотентной частью простой алгебры Ли, канонически ассоциированной с матрицей А. В ходе доказательства было показано, что в случае конечномерной характеристической алгебры система (1) обладает 2N дифференциально и функционально независимыми псевдоконстантами.
Высказанная в работе [23] интересная гипотеза о том, что характеристическая алгебра системы (1) с произвольной матрицей А совпадает с порожденной положительными корнями подалгеброй С7+(Л) контра-градиентной алгебры Ли, канонически ассоциированной с матрицей А, долгое время оставалась без развития. В работе [14] было замечено, что гиперболическая система фактически обладает не одной, а двумя характеристическими алгебрами, а гипотеза была расширена до утверждения (без доказательства) о том, что эти алгебры естественным образом "склеиваются" в единую алгебру Ли на основе так называемых соотношений нулевой кривизны (см. §2).

следующие два утверждения.
Лемма 8. Имеет место соотношение
[А„,(рх(а)] = ^(/о(а)) Ч-р^Д/Да)),
где а Е А!х.
Доказательство.
Покажем сначала, что [.СДАь] — —с^р^Хг. Используя (17), получаем следующие соотношения, предполагая, что операторы действуют на функции из Ар].
О = [А,, Ас] = [Ру,(£Хг = + яЬ[Пу,ХА = сДр^Х* +
яЬ [ву,хг] =
Яо(с)кРоХг + [Ву,хк]), откуда и следует [Оу,Хк] = -С^АоА-Теперь докажем требуемое соотношение индукцией по длине <7 коммутатора а.
1. с1 = 2. Подставляя рд в (17) видим, что Х*(рд) = 83к. Отметим попутно, что из этих равенств следует линейная независимость элементов X*. Далее
[Ап Ч}х^Р/-к1 эд])] — [Ал [X*, X/]] —
-Ц^ХиХ,] - КДУоХ,] =
Ч + <Ьх, - с‘^{Хь,X,] - 4,х(
Вычислим правую часть доказываемого соотношения <Рх(}о [«*, «г]) +Ро^(ЛК, сч]) =
<Рх{/кЫ ~ Маи)) +Ро^([Л'Ю,аг] + К>/Дсц)]) =
-4^ + с1кХг + ЛУх{~с)к[аг, Ы - с},[аь а{]) =
-4Х, + 4кх,+р>(-с%[хихг] - сух*,х,]).