Исследование бифуркационных диаграмм в задаче о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле

• Автор: Шведов, Евгений Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Глава 1. Предварительные сведения и постановка задачи

1.1. Уравнения вращения твердого тела в двойном силовом поле

1.2. Обобщенный волчок Ковалевской

1.3. Критические многообразия и множество Ё

Глава 2. Случаи сильного вырождения интегрального отображения

2.1. Вспомогательные утверждения

2.2. Нулевой ранг интегрального отображения

2.3. Ранг интегрального отображения равен единице. Случай с1К = 0

2.4. Ранг интегрального отображения равен единице. Случай с/К*0

Глава 3. Допустимые области на листах бифуркационной диаграммы

3.1. Основные обозначения

3.2. Допустимое множество в составе Ё,
3.3. Допустимое множество в составе Ё2
3.4. Допустимое множество в составе Ё3
Глава 4. Классификация бифуркационных диаграмм на

изоэнергетических уровнях
4.1. Выбор основных параметров
4.2. Разделяющие кривые в плоскости параметров
4.3. Визуализация областей перестройки диаграмм
Список литературы
Приложение

Задача о вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки является одной из краеугольных задач аналитической динамики. В классической постановке, при рассмотрении движения в поле силы тяжести, уравнения для описания вращения были предложены Леонардом Эйлером в 1749 го-ду [66]. Для произвольных потенциальных силовых полей эта задача является примером гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, конфигурационное пространство которой является компактной группой Ли. Принципиальная неинтегрируемость этой задачи даже в поле силы тяжести и особый статус известных случаев интегрируемости постоянно являются объектом все новых исследований и обобщений, источником возникновения новых математических методов и теорий. Аналитические результаты, относящиеся к классической задаче, по состоянию на 1979 год, изложены в книге [13]. Имеется библиография того же периода [30], в которой приведено более 1200 монографий и статей по динамике твердого тела с неподвижной точкой. Новое, топологическое, направление в задачах механики открыто С. Смейлом [28] и проиллюстрировано на задачах небесной механики. Метод Смейла для пары интегралов энергии-момента был применен в динамике твердого тела в осесимметричном силовом поле в работе С.Б. Каток [20] и цикле работ Я.В. Татаринова [31-33]. Существенным для этого метода является цикличность (линейность по обобщенным скоростям) интегралов, дополнительных к интегралу энергии. Общие случаи интегрируемости в динамике твердого тела (движения тяжелого гиростата и тела в центральном ньютоновском поле) этим свойством не обладают. Для них методы исследования фазовой топологии были разработаны М.П. Харламовым [38, 39, 41, 42, 43]. В результате была установлена фазовая топология перечисленных интегрируемых систем, что позволило впоследствии явно найти все так называемые грубые топологические инварианты (графы Фоменко) слоений Лиувилля фазового пространства в этих случаях (А.Т. Фоменко [37], [35], A.A. Ошемков [73], [25], П.В. Морозов [24] и др.).

Однако, как с аналитической, так и с топологической точки зрения, эта задача ставит новые математические проблемы. Это - поиск аналогов известных решений в абстрактных задачах о «многомерных» телах, в задаче Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости (математически эквивалентной классу задач о вращении гиростата вокруг неподвижной точки в осесимметричном поле), исследование их топологических инвариантов, поиск более утонченных характеристик классификации интегрируемых систем, что привело к ряду новых результатов ([44], [29], [27] и др.) и к новым теориям в топологии слоений (работы [64], [9] и др.).
Рассмотрим вполне интегрируемую гамильтонову систему с двумя свободы. Ее фазовое пространство - гладкое четырехмерное многообразие М4, на котором имеется симплектическая структура. В этой структуре динамика определяется гамильтонианом - функцией Я : М4 -> R (энергия). Энергия является первым интегралом. Для полной интегрируемости необходим еще один интеграл F: М4 -> R, независимый с Я почти всюду.
Зафиксируем значение энергии h и рассмотрим ограничение динамической системы на трехмерный изоэнергетический уровень
E}h={xeM* :H(x) = h}.
Допустим, что все они компактны. Уровни интеграла F на Е являются интегральными многообразиями исходной системы
/А / = {х е Е : F(x) = /} = [хёМ4: Я( х) = h,F(x) = /}.
Если на Ih у нет точек зависимости Я и F, то это многообразие является объединением конечного числа двумерных торов Лиувилля. Если h -регулярное значение энергии, то последнее свойство имеет место, если
регулярное значение ограничения Fh - F ,: Elh -» R. Если же значение h
I kh
критическое, то для сохранения этого свойства из El необходимо дополнительно исключить те уровни {Fh = /}, на которых есть критические точки Я. Множество пар (h,f) е R2, для которых lh{ не является объединением

В силу (2.36) знаки необходимо выбирать так, чтобы правая часть была неотрицательной. В результате получаем, что на плоскости (/?,#) уравнение (3.8) определяет разделяющие кривые (2.31)-(2.33), и их соответствие диаграмме Д.Б. Зотьева отображено на рис. 3.1.
Внешняя граница области допустимых значений первых интегралов 6,£ задана кривой 5, и лучом (3.9). Эта область затенена на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Допустимая область на множестве 2,
Заметим, что на кривой 5, в выражении (2.31) /?'(,?)< О при 5 £ (-6,0), поэтому система (2.31) определяет однозначную зависимость
£ = £,(6), И >-26.
Получаем следующее утверждение.
Теорема 3.3. Область допустимых значений интегралов Н,С на критическом многообразии 9Л определена системой неравенств
И >
g(h) Подчеркнем, что этот факт непосредственно вытекает и из исследований [17],[78]. Здесь новым и принципиально важным для дальнейшего является явное параметрическое представление (2.31)-(2.33) для корней уравнения (3.8).