Метод регуляризации для сингулярно возмущенных краевых задач при изменении характера спектра

• Автор: Ращепкина, Нина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 112 c. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ СТР.З

ГЛАВА I.АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОШКНОВЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ХАРАКТЕРА СПЕКТРА

§ I.Постановка задачи

§ 2.Выбор регуляризирующих функций и регуляризация задачи

§ 3.Выбор пространства элементарных решений

§ 4.Решение итерационных задач

§ 5.Формальное асимптотическое решение исходной

задачи

§ 6.Оценка остаточного члена

ГЛАВА 2.АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ПРИ НАРУШЕНИИ УСЛОВИЙ СТАБИЛЬНОСТИ СПЕКТРА

§ I.Постановка задачи

§ 2.Шбор регуляризирующих функций и регуляризация задачи
§ 3.Особенности задачи и выбор пространства
решений
§ 4.Разрешимость итерационных задач
§ 5.Формальное асимптотическое решение исходной
задачи и его асимптотический характер
§ б.Пример
ЛИТЕРАТУРА

Во многих разделах естествознания возникают математические задачи с малым параметром. При этом встает вопрос об их приближенном решении. Теория дифференциальных уравнений с параметром разрабатывается в двух направлениях - численные и асимптотические методы. Они не исключают, а взаимно дополняют друг друга. Однако, в некоторых случаях применение численных методов (даже с использованием быстродействующих ЭВМ) оказывается малоэффективным. Здесь фундаментальное значение приобретают асимптотические методы исследования, которые позволяют получать формулы, описывающие качественное поведение решения при стремлении параметра к нулю.
Различают два вида зависимости уравнения (или системы) от малого параметра - регулярную и сингулярную. Система в нормальной форме регулярно зависит от параметра 6 , если все ее правые части являются гладкими функциями от 6 при малых £ ^О ; в противном случае система зависит от параметра 6 сингулярно. По этому признаку различные асимптотические методы относят либо к регулярной (классической) теории возмущений, либо к сингулярной теории возмущений.
Асимптотические методы зародились в математическом анализе еще в ХУIII веке. Исследования Лагранжа, Лапласа, а позднее Римана заложили основы будущей теории. Математически идеи регулярной теории возмущений были оформлены в трудах А.Пуанкаре [из] в XIX веке. Им были введены понятия асимптотического ряда и асимптотической сходимости и с их помощью четко сформулирована задача теории возмущений. Следует отметить важный вклад А.М.Ляпунова [54] , разработавшего метод доказательства

сходимости рядов по степеням малого параметра, посредством которых определяются периодические решения. Регулярная теория возмущений нашла широкое применение в квантовой механике. Ее математические основы подытожены в работах К.Фридрихеа£14С^ и Т.Като [45-4б]
Следуя методу Пуанкаре-Ляпунова, решение регулярно возмущенной задачи получают с помощью некоторых поправок к решению предельной(при £=0 )задачи. При решении сингулярно возмущенных задач дело усложняется тем, что нельзя полагать £.=0 в данном уравнении. Так в задачах химической киненики малым параметром служит масса катализатора, при этом наличие малого параметра является основным фактором, определяющим ход процесса. При его формальном обращении в нуль математическая модель разрушается.
В 1837 году Лиувиллем [151^ была установлена структура фундаментальной системы для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка
^ 1 +- (X ь(р) + =О
при Д -> 00 , ъ(Х)^0. В 1907 году Шлезингер [фоБ]] и в 1908
году Биркгоф [149] строго доказали теорему о структуре фундаментальной системы (первый - вдоль луча (ХЛ^. £. =сС, второй -в секторе ^ <С(Ж(^ 8. $ 6 ) для линейного сингулярно возмущенного уравнения (Ъ-ого порядка
Ъ' ■••Ч' £ Лач (?:,£) уЛ
+ £)^- = 0, (о.1)
где X в Па>&] и £. - малый комплексный параметр. При £,>0 эта теорема может быть сформултрована следующим обра-

=Улм , ”>-0,1,1;.^2.8)
а также их производными. Легко видеть, что решением первой задачи из системы (2.8) является целая функция
Далее, при М. =0,1,2,
У* <Гг> е*д/- г^)/0г^ <$; =
- X 4 Х> ІЇ^нп. •
Действуя аналогично тому, как в § 3 главы I, нетрудно показать, что при
№=ОСгт-^
Заметим, что
(9, к = о,}
оператор улучшает поведение на бесконечности на единицу.
Эта гипотеза (с некоторым измененимм) использовалась нами в предыдущей главе для решения краевой задачи в скалярном случае. Используем ее и при решении задачи (2.1).
Будем искать решение задачи (2.6) в виде ряда, начина-
<С°)={с

(2.9)
ющегося с отрицательной степени малого параметра
£(*АЛ> = £ ^У-іч(*>*) ■

Если подставить этот ряд в задачу (2.6) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях ^ , то получим систему итерационных задач, предстввляющих собой дифференциальные урав-