Характеристические кольца Ли интегрируемых дифференциально-разностных уравнений

• Автор: Сакиева, Альфия Ураловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 100 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Структура .r-интегралов и n-интегралов для дифференциально-разностных уравнений и критерий интегрируемости по Дарбу
§1. Структура х— и п—интегралов дифференциальноразностных уравнений
§2. Алгебраический критерий интегрируемости по Дарбу
Глава 2. Построение решений и характеристические кольца Ли для интегрируемых по Дарбу дифференциальноразностных уравнений вида tx = tx + d(t. t{)
§3. Характеристические кольца Lx для интегрируемых по Дарбу
дифференциально-разностных уравнений tx = tx + d(t, Д)
§4. Характеристические алгебры Ln для интегрируемых по Дарбу уравнений tx = tx + d(t, t)
§5. Построение решений для интегрируемых по Дарбу цепочек
вида Их = tx + d(t, ti)
Глава 3. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувил-левского типа

§6. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувиллевского
типа
Глава 4. Характеристическая алгебра Ли уравнения Цицейки
§7. Характеристическая алгебра Ли уравнения Цицейки
Заключение
Литература

Введение
Настоящая работа посвящена исследованию интегрируемых дифференциально-разностных уравнений вида
+ 1, х) = f(x, t(n, x),t(n + 1, х), х)) (ол)
Здесь t = t(n, х) - искомая функция дискретного переменного п и непрерывного переменного х. Предполагается, что функция / = f(x,t,t,tx) является локально аналитической, и |р не равна нулю тождественно.
Уравнения и системы уравнений вида (0.1) встречаются в конформной теории поля (см. [24]) и других разделах физики. Последовательное применение преобразования Бэклунда к интегрируемому уравнению в частных производных порождает дифференциально-разностные уравнения вида (0.1)(см. [28],[47]). Отметим, что в знаменитом эксперименте Ферми-Паста-Улама, предшествовавшем открытию солитона, также исследовалась динамическая система, описываемая дифференциально-разностным уравнением.
В последние три десятилетия интегрируемые дифференциальноразностные уравнения активно исследовались в работах [2] [28],[32],[33],[37],[47],[36],[42],[43],[64]
В научной литературе существует несколько подходов к определению интегрируемости. В данной работе под интегрируемостью мы понимаем интегрируемость по Дарбу. Напомним, что уравнение в частных производных

Тп Хг 0 с2 а2С3Й + С4/(2С'3)Хі
Й -Сз 0 К
С2 —а?Сф¥ - С4/(2С3)Хі -к
где К = ~(а2С4/2)Уі + {2агС4еат-1 - а2С3)Хі-
§5. Построение решений для интегрируемых по Дар-бу цепочек вида Ьх = Ьх + <1(Ь,
Конечномерность характеристических колец Ли Ьх и Ьп была использована в работах [12] и [13] для классификации интегрируемых ио Дарбу дискретных уравнений специального вида
*і г = іг + (Мі). (2.2)
Результат этой классификации представлен в следующей теореме [12].
Теорема 2.1. Уравнение (2.2) допускает нетривиальные х- и п-интегралы тогда и только тогда, когда с£(і, іі) принадлежит одному из следующих классов:

іх — і.с + Л(Д — 1), (2.3)
где А(р — і) задается неявно А(ф — і) = -АР(в), Д — 1 = Р(в), с Р{&), являющейся произвольным квазиполиномом, т.е. функцией, удовлетворяющей обыкновенному дифференциальному уравнению
Им+ .. , + ріР'+р,0Рс постоянными коэффициентами р/с, 0 < к < N,

іх = іх + ОДі — і2) + Сг(Д ~ і), (2-4)