Асимптотика авторезонансных колебаний

• Автор: Гарифуллин, Рустем Наилевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 109 с. : ил.

1 Асимптотический анализ модели субгармонического авторезонанса

1.1 Асимптотики, метод многих масштабов

Асимптотические последовательности и ряды

Метод многих масштабов

1.2 Случай п

1.3 Случай п

1.4 Случай п

1.5 Случай п

1.6 Заключение

2 Асимптотика авторезонансных колебаний. Внутреннее разложение

2.1 Переход к усредненным уравнениям

2.2 Дальнейшее усреднение исходного уравнения
2.3 Решение уравнений в медленной переменной
2.4 Заключение по внутреннему асимптотическому разложению
2.5 Определение структуры внешнего разложения
3 Асимптотика авторезонансных колебаний. Внешнее разложение
3.1 Решение невозмущенного и линеаризованного уравнения
3.2 Усреднение в быстрой переменной
3.3 Идентификация промежуточной переменной
3.4 Усреднение в промежуточной переменной
3.5 Решение системы в медленной переменной
3.6 Заключение по внешнему разложению

4 Асимптотика авторезонансных колебаний. Согласование
и обоснование
4.1 Согласование внутреннего и внешнего
асимптотического решения
4.2 Обоснование асимптотического решения
5 Численные эксперименты
5.1 Связь авторезонансных решений с начальными данными
5.2 Подтверждение полученных масштабов

Основным объектом исследования в настоящей работе является дифференциальное уравнение второго порядка с малым возмущением:
Предполагается, что потенциал V(м) имеет в нуле точку локального минимума. В качестве фазы возмущения берется функция Ф(т) — т + т30(т)/6. Здесь /(т), ф(т), У{и) - гладкие (бесконечно дифференцируемые) функции. Предполагаем, что /(0) ф 0,0(0) ф 0.
При наложенных ограничениях иевозмущенное уравнение имеет двухпараметрическое семейство периодических решений в окрестности точки равновесия. Цель данного исследования - построение асимптотики при е —>■ 0 решений возмущенного уравнения (0.1) вблизи таких периодических решений. Основное внимание уделяется отысканию авторезонанс-ных решений, характерным признаком которых является изменение амплитуды колебаний на величину порядка единицы на далеких временах
Задачи о возмущениях периодических решений впервые возникли в связи с изучением движения небесных тел в XVIII веке. Вначале влияние возмущений учитывалось через дифференциалы за последовательные промежутки времени. В дальнейшем А. Линдштедт [1] и А. Пуанкаре [2, 3] предложили отслеживать глобальные параметры движения, которые в предельных уравнениях являются постоянными. Дальнейшее развитие и современное состояние теории возмущений переодических решений можно отследить по работам Б. Ван-дер-Поля [4], Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [5, 6], Г.Е. Кузмака [7], А.Н. Колмогорова [8], В.И. Арнольда [9, 10, 11, 12], Ю. Мозера [13], Г. Уизема [14], А.Х. Найфе [15], А.И. Нейштадта [16], Ф. Олвера [17], Р. Хабермана [18], С.Ю. Доброхотова и В.П. Маслова [19], М.Ф. Федорюка [20] и др.
^ > 0, 0 < е << 1, ,т = еЬ. (0.1)

(2.35)
На следующем шаге получаем систему:
дпФ 1 + П = О,

dvn = -Щ-ф20.

Решение этой системы имеет вид:
= 9о2 С2 ( cos 2rj ~ 3 Гг ) 6А&0 V 2 sin 2г)
На втором шаге получаем систему: дг{ф2 + т2 = —bid^ipa,
д,,г2 -1ь = -Ьгд.го - ; '
ADq AOq
Из требования ограниченности решений этой системы определяется
2 (Ч3 5(д°2)2
Ч1 12(£/о01)2
Далее аналогично определяются г2, ^ ^З) ^2,г4>''Аь ^5, V>5i .удовлетворяющие условиям теоремы. Начиная с б шага при п = 2к, к = 3 для гп, фп получаем следующие уравнения:
дпАк + г2к = +ЪкС sinri - afc_3 cos ц + F2k{V, т,С),
дпг2к ~ А к = -hC cos г] - аА_3 sin rj + G2k А,т,С). ” ’ ‘'
Здесь F2k(v,r,C),G2k(v,T,C) функции, определяемые предыдущими поправками, например:
(п-1)/2 (п-1)/2
Т) С) ^ ^ b^dfj^n^h ^ ^ О'И.д-цФп—2/i—6 “Ь 'Фп—6"Ъ
/г=1 /i
^ ^ 1 d^Z/^roj^QiT)
L ш
h=Q l+Jn=0 il+:.+ii+ji+—+jm=n-h
функция Gn{rj,T-,C) определяется из аналогичного выражения.