Задача с начальными условиями для эволюционных линейных дифференциально-разностных уравнений

• Автор: Йаакбариех Амир
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДРУ) С ОТКЛОНЕНИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОГО АРГУМЕНТА.
1.1. Задача Коши для параболического дифференциальноразностных уравнений с отклонением пространственного
аргумента
1.2. Полугруппы операторов, порождаемых параболическими ДРУ с отклонением пространственного аргумента
1.3. Задача Коши для гиперболического дифференциальноразностных уравнений с отклонением пространственного
аргумента
1.4. Полугруппы операторов, порождаемых гиперболическими ДРУ с отклонением пространственного аргумента
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДРУ) С ОТКЛОНЕНИЕМ ВРЕМЕННОГО АРГУМЕНТА.

2.1. О постановке задачи с начальными условиями

для ДРУ
2.2. Параболические ДРУ с отклонением временного аргумента
2.3. Гиперболические ДРУ с отклонением временного аргумента
2.4. Весовое пространство корректности задачи с начальными условиями для ДРУ с отклонением временного аргумента и нарушение существования или единственности ее решения

2.5. Сочетание отклонений пространственного и временного аргументов
Глава 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДРУ КОНТИНУАЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.
3.1. Формулы Фейнмана для решений здачи Коши для параболического ДРУ с отклонением пространственного аргумента
3.2. Заключение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
В диссертации проводятся исследования дифференциальноразностных эволюционных уравнений. Изучаются условия корректной разрешимости начально-краевых задач, в которых дифференциальноразностный оператор (действующий в пространстве числовых функций, заданных на прямом произведении временной полуоси на координатное пространство К1) осуществляет как отклонение пространственных переменных, так и отклонение временной переменной (причем может иметь как запаздывание, так и опережение аргумента).
В случае оператора со сдвигами лишь пространственного аргумента или операторов без запаздывания начальными условиями задачи Коши являются предельные значения неизвестной функции (для уравнения параболического типа) или предельные значения функции и ее производной по временной переменной (для гиперболического уравнения) в пространстве, соответствующем постановке задачи Коши.
В случае операторов с запаздыванием временного аргумента начальные данные задаются как значения неизвестной функции на промежутке запаздывания, причем выбор функционального пространства для начальных значений входит в постановку задачи с начальным условием.
Такая постановка задачи с начальными условиями для ДРУ, содержащих опережение, является модификацией исследованной в работах
А.Г. Каменского, А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца и ряда других авторов (см. работу [14] и монографию [18]) постановки задачи с начальными условиями для ДРУ опережающего типа. Новизна предложенного в диссертации подхода состоит в том, что начальные условия для ДРУ опережающего типа задаются лишь на промежутке запаздывния, а не на объединении промежутков опережения и запаздывания как в [14, 18]. Как показали исследования (см. теоремы 2.1, 2.3), в такой по-

1.2. Полугруппы операторов, порождаемых параболическими ДРУ с отклонением пространственного
аргумента.
Теорема 1.1 . Формула (1-1.4) определяет сильно непрерывную полугруппу и(£), £ > О, преобразований пространства Ь2(Я).
доказательство. Действительно, в силу унитарности преобразования Фурье в пространстве Ж = Ь2(В) достаточно проверить, что однопараметрическое семейство операторов и(£) , £ > 0, умножения на функции £/(в,£), £ € й+, является полугруппой сильно непрерывных операторов в пространстве Ь2(Н) с нормой не больше единицы.
Полугрупповое свойство = У(й,Д + £2) следует из
свойств экспоненциальной функции.
Сильная непрерывность в точке £ = 0 оператор-функции и(£), £ > О, следует из равномерной на любом отрезке числовой прямой сходимости функции [/(й, £), £ 6 й+, в 6 й, к единичной функции 1(5), вей, при £ —> 0. Тогда сильная непрерывность в любой точке £ > 0 следует из полугруппового свойства.
При этом тип ш полугруппы ТГ(£), £ > 0, равен величине эирДя),
где /(в) — —в2 + 2 Хл=1 Ък СОБ^/ц,), вей, и допускакт оценку сверху

и/ < 2 ^2 bk- Теорема 1.1 доказана.

Теорема 1.2. Задача Коши (1.1.1), (1.1.2) имеет единственное обобщенное решение «(£), £ > 0,, которое определяется как действие полугруппы и(£), £ > 0, на начальное условие щ.
доказательство. Согласно замечанию 1.1, если решение задачи Коши (1.1.1), (1-1.2) существует, то оно представимо в виде

Цж,£) = щ(х) * ^_1{ехр [(-в2 + 2^£дсоз(5£г,|<))£]}. (1-2.1)