Метод направляющих функций в задаче о периодических и ограниченных решениях

• Автор: Евченко, Валерия Константиновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 136 с.

Глава!. Стационарные системы

1. Степень отображения

2. Направляющие функции

3. Поведение решений стационарной системы, обладающей

направляющей функцией

4. Условие Барбашина - Красовского

Глава 2. Периодические системы

5. Метод Пуанкаре

6. Основная топологическая лемма

7. Основная топологическая теорема теории периодических решений

8. Направляющие функции

9. Поведение решений периодической системы, обладающей
направляющей функцией
10. Признаки диссипативности периодических систем
Глава 3. Ограниченные системы
11. Основная топологическая теорема теории ограниченных решений
12. Рекуррентные системы
13. Поведение решений ограниченной или рекуррентной системы, обладающей направляющей функцией
14. Рекуррентные диссипативные системы
15. Векторные функции Ляпунова
16. Сведение к одной направляющей функции
Глава 4. Разное
17. Топологический метод Важевского
18. Обзор работ по методу направляющих функций Список литературы

Одной из важных задач теории нелинейных колебаний является изучение периодических или ограниченных (в том числе рекуррентных) решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Но прежде чем изучать такие решения нужно быть уверенным в том, что они действительно существуют.
С физической точки зрения назначение решений указанного вида (стационарных, периодических, почти-периодических, рекуррентных) весьма серьезно: они образуют основу той картины развития процесса, которую описывает изучаемая система нелинейных дифференциальных уравнений. Будучи стационарными в широком смысле этого слова (т.е. с неизменными относительно сдвига и предельного перехода такими характеристиками как среднее значение или спектр), они таковы, что к ним, вообще говоря, стремятся все остальные решения изучаемой системы при неограниченном возрастании времени. Выскажем последний тезис более четко: каждое решение диссипативной нелинейной системы дифференциальных уравнений или является определенным на всей вещественной оси стационарным в широком смысле решением соответствующим так называемым установившимся режимам, или отвечая переходным режимам, стремится к некоторому стационарному решению при неограниченном возрастании времени.
Для исследования периодических и ограниченных решений было разработано несколько методов. Первую группу методов, будем ее называть методы пространства состояний, составляют: метод направляющих функций, метод функций Ляпунова, топологический метода Важевского. Вторую группу, будем ее называть функционально-аналитические методы, образуют метод интегральных уравнений, вариационный метод и другие подобные им методы. Если первая группа методов имеет дело с множествами и отображениями в конечномерных пространствах, то вторая группа методов уже имеет дело с множествами и отображениями в бесконечномерных

хх, 0 < t < 7г/4,
м - - ' ’ (7.44)
ж2 + 1, тг/2 < £ < (3/2)тг,
а в остальном произвольна (в указанных выше пределах).
Отображение /о(ж) = /(0, ж) = х|ж| является невырожденным на границе любого отрезка [а, Ь], где а < 0 и !) > 0, и принимает значения разных
знаков, т.е. выполнены условия (7.1) и (7.2). Здесь К — (а, Ь), граница
дК состоит из двух точек а и 6 и степень отображения с1ед(/о, дС) равна единице.
Далее, общее решение уравнения х= хх (см. (7.44)) имеет вид
г = ж(°)
1 — |ж(0)|£’
Мы видим, что каждое ненулевое решение определено лишь на полуинтервале 0 < £ < 1/|ж(0)|, ЧТО при |ж(0)| = 4/7Г приводит к двум решениям, определенным на полуинтервале [0,7г/4), причем ж(£) -4 +оо, если х(0) = 4/тг, и ж(£) —> —оо, если ж(0) = —4/7Г. Эти решения при £ = 0 начинаются на границе отрезка [—4/7Г, 4/7г], но не обладают свойством продолжимости на отрезок [0, 27г], т.е. условие (7.3) теоремы здесь не выполнено. Вместе с тем оба указанных решения, очевидно, обладают свойством невозвращаемости там, где они определены, и в этом смысле удовлетворяют условию (7.4) теоремы.
Однако, уравнение (7.42), для которого выполнено условие периодичности (7.43), не обладает периодическими решениями. Дело в том, что уравнение х= х2 + 1 (см. (7.44)) на интервале ж/2 < £ < (3/2)тг имеет решение
х = 1д{1 - 7г),
стремящееся к ±оо при стремлении £ к концам этого интервала. Это является преградой для появления периодических решений уравнения (7.42). Построенный нами пример показывает насколько существенно для спра-