Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений с двумя малыми параметрами

• Автор: Коврижных, Ольга Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Асимптотику решения начальной задачи для линейной системы с двумя малыми параметрами при производных

1.1. Постановка задачи

1.2. Построение формальных рядов для решения задачи

1.3. Оценки членов внутреннего разложения

1.4. Обоснование асимптотики

Глава 2. Вычисление членов асимптотики

2.1. Формулы для членов внутреннего разложения в случае различных собственных значений
2.2. Формулы для членов внутреннего разложения в случае кратного собственного значения
2.3. Примеры
Глава 3. Асимптотика решения начальной задачи для нелинейной системы с двумя малыми параметрами при производных
3.1. Постановка задачи
3.2. Построение формального решения
3.3. Внутреннее разложение и оценки его членов
3.4. Обоснование асимптотики
3.5. Пример
Литература

Введение
Дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных возникают при моделировании и исследовании ряда физи-ческих, биологических, химических явлений и процессов. Подобного рода уравнения встречаются также в теориях автоматического регулирования, нелинейных колебаний, в газовой динамике, при описании гироскопических систем. Эти уравнения называют сингулярно возмущенными. Их особенностью является то, что порядок вырожденного уравнения, получающегося из исходного при нулевых значениях параметров, ниже порядка исходного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. Для достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач характерно свойство быстрого изменения решения в некоторых областях - пограничных и переходных слоях.
Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А.Н. Тихонова [50-52], в которых дается общая постановка задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных и обосновывается предельный переход от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении к нулю параметров.
Построение приближенных решений сингулярно возмущенных задач проводится различными как численными, так и асимптотическими методами. Общепризнанными среди асимптотических методов являются метод пограничных функций (А.Б. Васильева [6,9-14], В.Ф. Бутузов [6,7,12,13], JT.A. Люстерник [15], М.И. Вишик [15], М.И. Иманалиев [31]), метод усреднения (Н.М. Крылов [35], H.H. Боголюбов [3], Ю.А. Митропольский [3,41]), метод регуляризации сингулярных возмущений (С.А. Ломов [39]), методы теории релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягпн [46,47], Е.Ф. Мищенко [42], Н.Х. Розов [42]), метод сращивания асимптотических разложений

(JI. Прандтль [64], A.M. Ильин [23,27-30]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов [40]) и другие, каждый из которых позволяет решать определенный круг задач. Различные подходы к изучению сингулярно возмущенных задач изложены также в монографиях В. Вазова [8], Дж. Коула [34], J. Kevorkian [61], А.Х. Найфэ [44,45], М.В. Федорюка [53] и работах многих других авторов (см., например, [1,2,4,5,16,17,19,21,22,24-26,37,43,54-56,58,62,63,65]).
Начальная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одним малым параметром при производных давно и достаточно хорошо изучена. Между тем, реальные задачи очень часто зависят сингулярным образом от нескольких малых параметров. Исследование таких задач намного сложнее, и они изучались лишь в сравнительно небольшом числе работ. Пионерскими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова [51,52] и И.С. Градштейна [17,18], в которых, в частности, изучался предельный переход при стремлении к нулю параметров. Вопросы построения и обоснования асимптотики решения систем уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости, рассматривались в работах А.Б. Васильевой [9-11]. Алгоритм асимптотического расщепления систем линейных дифференциальных уравнений, зависящих от двух малых параметров, на подсистемы меньшей размерности изложен в работах Н.А. Сотниченко, С.Ф. Фещенко [48,49]. Вопрос о построении общего решения подобных систем при некоторых условиях на матрицу при производных и матрицу системы изучался в работах В.П. Яковца, М.А. Стрельникова [59,60]. Исследованию предельного перехода в некоторых сингулярно возмущенных задачах с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования, посвящены работы Н.А. Коси-ченко [32,33]. В монографии Р.П. Кузьминой [36] исследуется задача Коши для почти регулярной системы, системы с целыми степенями малого параметра при производных, а также системы с двойной сингулярностью. Эти задачи соответствуют различным способам вхождения малого параметра в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этих типов

Тем самым неравенство (1.49) в случае II доказано.
III. При £ € Т2 и 6 6 (ДД*), Д2(£)) величины АД£, £, ц), А2(£,е, ц) комплексно-сопряженные. Из равенства (1.50) имеем для А; = 1
а(€)ц, + б?(£)е
КеАД£,£, ц)

1т А Д£,е,ц)
•/4£//|6(А)с(А)| - (а()/и - сДДб)2 2е/л
(1.67)
(1.68)
Обратимся к формуле (1.56). Первое слагаемое в правой части этой формулы оценивается аналогично (1.57), учитывая равенства (1.67) и
|ехр(А2(£,£,ц)Д - з))| = ехр(Яе А2(£,е,ц)(£ - в)).
Для второго слагаемого в правой части (1.56) получим

ехр(Ах(г,е,ц)(г- й)) - ехр(А2(£,£,ц)(£ — б1))
= J ехр(11е А2 (£,£,//)(£ —Д)
А Д£,£,д) - А2(£,£,д)
этДт А2(£, г, ц) (£ — Д)

1т А 2(£,£,/Д

С J ехр(Яе А2(£, е,ц)(£ — Д) (£ — в) йз
1 - {1+ £|КеА2(£,е,ц)|}ехр(11еА2(£,£, ц)£)

< (Ие А2(£, £, /Д)2
Далее, по аналогии с (1.65) приходим к справедливости неравенства
(Де А2(£,£, ц))2

(11еА2(£, е,ц))'2 Тем самым лемма 1.5. доказана
||(П(£,£,ц) - А2(£, е,р)Е)\ 1(£,/л)

(1.69)
(1.70)