Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными и им сопутствующие интегральные операторы

• Автор: Гачаев, Ахмед Магомедович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 123 с. : ил.

ГЛАВА 1. Краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка и сопутствующие им интегральные операторы

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Начальные и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка в локальной и нелокальной
постановках
§ 1.3.0 качественных свойствах несамосопряженного интегрального оператора, порожденного уравнениями в

частных производных смешанного типа

§ 1.4. Об одном операторе, сопутствующем дифференциальному

уравнению дробного порядка

§ 1.5. Области в комплексной плоскости, где нет собственных

значений оператора дробного интегрирования

§ 1.6. Об одном способе приближенного решения уравнений дробного порядка

§ 1.7. Применение операционного исчисления к решению краевых задач для дифференциального уравнения дробного порядка
ГЛАВА 2. Некоторые вопросы полноты систем собственных функций операторов дробного дифференцирования § 2.1.0 полноте систем собственных функций оператора дробного дифференцирования
§ 2.2.0 полноте систем собственных функций оператора второго
порядка с дробными производными в младших членах
ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений дробного порядка
§ 3.1. Модель деформационно-прочностных характеристик одного класса полимеров на основе производных дробного порядка
§ 3.2. Анализ решения дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующего особенности притока нефти
к скважине в трещинном деформируемом пласте
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

В связи с важными проблемами уравнений в частных производных смешанного типа и газовой динамики трансзвуковых течений за последние годы существенно возрос интерес к краевым задачам для дифференциальных уравнений дробного порядка. Тому подтверждение монография
А.М. Нахушева [75], посвященная основополагающим элементам дробного исчисления и их приложениям к проблемам математического моделирования различных процессов в живых и неживых системах с фрактальной структурой и памятью. Интенсификации фундаментальных и прикладных исследований в области дробного дифференциального исчисления значительно способствовали проблеме описания нелокальных краевых задач со смещением для основных типов уравнений математической физики и биологии [78], выход в свет в 1972 г. книги "Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений" коллектива авторов Х.Г. Бжихатлова, И.М. Карасева, И.П. Лесковского, А.М. Нахушева [21], а также весьма содержательного обобщающего труда С.Г. Самко, A.A. Килбаса и O.A. Мари-чева "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", изданного в г. Минске в 1987 г. [91]. Необходимость развития теории дифференциальных уравнений сделала востребованными монографии Ю.И. Бабенко "Тепло- массообмеп. Метод расчета тепловых и диф-фузионых потоков" [16] и "The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order)"[104] авторов Oldham Keitk B., Spanier .Jerome, которая вышла в Лондоне в 1974 г.

Фундаментальное значение в развитии теории дифференциальных уравнений дробного порядка и ее прикладных аспектов безусловно сыграют монографии В.А. Нахушевой [84], А.В. Псху [88], Л.И.Сербипой [93].
Существуют различные определения операции дробного интегрирования и дифференцирования, которые для достаточного гладких функций, как правило, совпадают.
В предлагаемой работе эти операции понимаются в смысле Римана-Лиувилля и следуя А.М. Нахушеву [75] оператор дробного интегродиффе-ренцирования порядка а с началом в точке а € К и с концом в точке х G К порядка |а|, действующего на функцию “х. По определению
' X
sign (х - а) Г сp(t)dt
Г(—a) J (;x-t)a+v ’

я[а]+1
sign(al+1 (х - a)-x[a]+lD«-[a]-ly(t), а > О,
где [а] - целая часть а, которая удовлетворяет неравенству [а] < а < [а]+1 ; Г(г) - гамма-функция Эйлера; а, ж G [А, В].
При 0 < а < 1 класс функций и — и(х), представимых в виде
и(х) = с(х — а)а_1 + D~" f[t, n(t)], с = const, (1)
f[x,u(x)] G L[a,b]
порождает обыкновенное дифференциальное уравнение порядка а :
Daxu{t) = fixiи)> а < х <Ъ. (2)

т.к. н(1) = 0 , то можем найти и'(0):
«'(о) = Щ;2и{х) |ж=|
Подставляя это выражение, окончательно получим

(;X ~ Ь)1 аи(Ь)(И
Г(2 - а)

~Г(2^а) /^ = Л_1и(т). (1.4.9)

Изложим способ нахождения всех собственных значений уравнения (1.4.9).
Итак, в комплексном гильбертовом пространстве Ь2(0,1) оператор А для простоты (1.4.9) запишем в виде

АиЦр-
— J(ж —£)*> 1и(1)сИ— р^_1у £ ж(1—О'' 1^(^)^- (1.4.10)
о о
Пользуясь неравенством Коши-Бупяковского, имеем

1-1.
{х — Ь)» и(£)(Й

X X
Л- 2.
< ! {х — £)р ^ • J и(Ь)сИ, о о
отсюда следует, что при 0 < р < 2 получаем, что А : Ь^{0,1) ^(0,1)