Методы решения некоторых классов задач оптимального управления на основе соприкасающихся эллипсоидов

• Автор: Хабаров, Николай Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Содержание
Список обозначений
Введение
1 Алгоритм проектирования точки на множество на основе эллипсоидов
1.1 Постановка задачи
1.2 Описание численного метода
1.3 Скорость сходимости метода
1.4 Модификация метода (промежуточная одномерная оптимизация)
1.5 Некоторые примеры расчетов
1.5.1 Квадратичная скорость сходимости
1.5.2 Случай зацикливания
1.5.3 Пример использования метода с промежуточной одномерной оптимизацией
1.5.4 Сравпение с методом проектирования на основе потенциала
1.5.5 Применение метода для решения задачи оптимального управления
с терминальным функционалом
2 Ньютоновский алгоритм проектирования с гарантированной сходимостью
2.1 Предварительные замечания
2.2 Описание численного метода
2.3 Сходимость метода
2.4 Скорость сходимости метода
3 Алгоритм решения задачи захвата точки семейством выпуклых множеств
3.1 Постановка задачи
3.2 Описание численного метода
3.3 Сходимость численного метода
3.4 Скорость сходимости метода
3.5 Некоторые примеры расчетов
4 Алгоритм решения задачи быстродействия на основе проектирования начального состояния на соприкасающиеся эллипсоиды
4.1 Описание численного метода
4.2 Скорость сходимости метода
4.3 Некоторые примеры расчетов
4.4 Решепие задачи управления линейным динамическим объектом
4.5 Замечания об эффективности метода

5 Ньютоновский алгоритм решения задачи быстродействия с гарантированной сходимостью
5.1 Описание численного метода
5.2 Сходимость метода
5.3 Скорость сходимости метода
Приложения
А Метод проектирования точки на эллипсоид, применение дробно-раниональной аппроксимации
В Конструкция соприкасающегося эллипсоида
С Практическая реализация рассмотренных методов
Библиография
Иллюстрации
Список обозначений
R" - n-мерное евклидово пространство;
N - множество натуральных чисел;
No = NU {0};
Вт (а) - замкнутый шар радиуса г с центром в точке а в пространстве R";
S - единичная сфера в пространстве R7* ;
comp(R") - множество компактных множеств в R" ;
conv(R,‘) - множество выпуклых компактных множеств в Ж7*;
с(Л, •) - опорная функция множества А € conv(R"), с(А, •) : К." —> R1,
с(Л, ■ф) = тах(а,^);

Г(К”) - множество гладких выпуклых компактов в пространстве R", А £ Г(К”) О (1) Ле conv(R”) и (2) rgc"(A, -ф) — п— lV^eg; Af{-) - семейство множеств, зависящих от скалярного параметра,
jV(-) : R1 —¥ conv(R”);
£(АЛ,р) - соприкасающийся эллипсоид для множества АЛ в направлении вектора р, определяемый своей опорной функцией:
с(£(М,р),ф) = (а(р),ф) + yÿ*B(pÿ0, где В(р) = [с{М,р) + с(М,— p)]d'(M,p) + [d(M,p) — a(p)]{d(M,p) — а(р)]* £ Rnxn и а(р) = {d(M,p) + d{M, -р)] € R”;
£{р) ее £{М,р)
£{t,p) = £{M{t),p)
S(-) - итерирующая функция в соответствующей задаче;
t - время, 16 [7o,Ti];
у - фиксированная точка в пространстве R" ;

(а, Ь) = 53 - скалярное произведение векторов в R”;

I о I = sj(а, а) - норма вектора а в пространстве К" ;
Il А II = max I Ах [ норма матрицы А £ Rmx";

транспонированная матрица А; транспонированный вектор х;
множество минимизаторов определенной на множестве X функции /(•) : X —» R1, Argmin/(х) = {î : î 6 X,f(x) < /(x),Vx £ xex

единственный минимизатор функции /(•) на множестве X. Если множество Argmin f(x) состоит из одного элемента, то

Argmin/(х) = {argmin/(х)};
х£Х х€Х
п(А, •) - оператор проектирования точки на множество А £ conv(Rrl),
7г(А,х) = argmin |х — а|; аеЛ
Р(' î ') _ расстояние между двумя множествами из пространства
conv(R"), р(А, ß) = min |а — 6|. Так же мы будем обозначать aÇA,bçB
расстояние между двумя точками в пространстве R71 ; int А - множество внутренних точек множества А;
ЭАЛ - множество граничных точек (граница) множества АЛ

Argmin /(х)

argmin/(х) х£Х

Второе слагаемое в этом выражепии строго положительно, поскольку выполнены соотношения
о"(ф) > 0, Tga"(ip) = п- 1, {0},
o"($(a,p,q))ip{a,p,q) = 0,
4>(a,p,q), ф'а{а,p,q) € S, и ip*(a,p,q)il>'a(a,p,q) = 0, так как
4>*(a,p,q)'ip,a{a,p,q) =
= (—р sin а + q{p, q) cos а, р cos a + q(p, q) sin а) =
= — | p |2 cos a sin a + | q(p, q) |2 cos a sin a +
+p*q(p, q) cos2 а — p*q(p, q) sin2 a =
= — cos a sin a + cos a sin a + 0 cos2 а — 0 sin2 а = 0.
Поскольку имеет место равенство i>aa{oi,p,q) = —tp(ci, р, q), то сумму первого и третьего слагаемых можно переписать в виде
y*${a,p,q) - о(ф(а,р, q)) = -д{Ф(а,р,q)) > 0,
так как, согласно сделанному выше замечапию, справедливо равенство ф{а,р,ф) — R(p, q), и, стало быть, выполнено включение ф(а,р, q) б С. (поскольку д (R(p, q)) < д(р) < 0). Строгая положительность выражения (2.11) обоснована.
В силу выполнения условий (а)-(г) для уравнения F(a,p,q) = О справедлива теорема о неявной функции, из которой следует, что в малой окрестности точки (a(p,q),p,q) существует единственная непрерывная и дифференцируемая функция «(•, •), которая определяет функцию /?(•,•) в виде R[p,q) — ф(а(р, q),p, q), что означает непрерывность (и дифференцируемость) функции R{p,q) в указанной малой окрестности. Утверждение (4) теоремы 2.2 обосновано. Теорема полностью доказана.
Замечание 2.2 Приведенная выше теорема в силу положительной однородности измерения ноль функции R(•, •) по обоим аргументам, допускает обобщение для случая, когда эти аргументы не являются нормированными.
Теорема 2.3 (О формулировке задачи проектирования в терминах опорной функции)
Пусть зафиксированы множество М б conv(R"), точка у £ М и точка то =
argmin | у — m |, а функция д(-) определена равенством д(ф) = о(ф) — у'ф. Тогда спра-т€М
ведливы следующие утверждения:
(1) Argmin з(^) = Ш, где ф0 = 1V ~ 1 >'
фе$ I 1/ — ТП-0 I
(2) о{Фч) = -у~т0.
Доказательство. Во-первых, согласно лемме 2.1, справедливо утверждение (2), поэтому имеют место равенства
д(фо) = а{ф0) - у'фо = тах(т - у,ф0) =

= { Лемма 2.1} = (т0 — у, ф0) = — | у — т0 |.
Во-вторых, очевидно, справедливо утверждение о том, что если фиксирован некоторый
вектор р б S, то справедливы соотношения тах(р,ф) = (р,р) и (р,ф) < (р,р) для любых

векторов ф 6 S таких, что ф ф р. Поэтому для произвольного вектора ф б S такого, что