Асимптотическое поведение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах постоянной отрицательной кривизны

• Автор: Погорелов, Юрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 77 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
# Глава I. Геометрия Больяи-Лобачевского
§1. Определение пространства Больяи-Лобачевского
§2. Интерпретация геометрии Больяи-Лобачевского в евклидовом пространстве. Карта Пуанкаре
Глава II. Критерии стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространстве Больяи-Лобачевского
* §1. Постановка задачи
§2. Нечетномерный случай
§3. Четномерный случай :
§4. Необходимое и достаточное условия стабилизации
§5. Необходимое и достаточное условие стабилизации в терминах специальных усреднений
0 §6. Равномерная стабилизация
Глава III. Свойства шаровых средних в пространстве Больяи-Лобачевского
§1. Эквивалентность шаровых средних в четномерном
пространстве
§2. Соотношения между шаровыми средними в евклидовом пространстве
^ §3. Специфика поточечной стабилизации в пространстве
Больяи-Лобачевского
§4. Задача Коши в евклидовом полупространстве и в шаре
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Вопросы стабилизации (существования предела при t —► +00) решений u(t, х) уравнений математической физики гиперболического [8, 12] и параболического типов в евклидовом пространстве Еп изучены достаточно полно в работах М. Кжижанского, Ф. О. Порпера, С. Д. Эйдельмана, В. Д. Репникова, В. В. Жикова, В. Н. Денисова, Ю. Н. Валицкого.
Если в первых работах по стабилизации изучалось асимптотическое поведение решений задачи Коши для уравнения теплопроводности и параболических уравнений с коэффициентами, зависящими только от t, то со временем те же вопросы решаются в классах неограниченных [9, 13, 21, 23, 37] и обобщенных [3-4, 14-15] функций, для решений уравнений порядка выше второго [1], ультрапараболических [14], сингулярных [22] и уравнений с переменными коэффициентами [18, 32, 33, 39]. Изучены вопросы стабилизации решений краевых задач [6-7] и решений квазилинейных уравнений [17]. Наконец, в работе [38] получено необходимое и достаточное условие стабилизации для решения уравнения теплопроводности в самом широком классе функций — тихоновском классе. Обзор некоторых результатов для параболического случая содержится в работах [9, 11].
Исследования по стабилизации в пространствах Больяи-Лобачевского или пространствах постоянной отрицательной кривизны пока не могут сравниться по полноте с результатами, полученными в евклидовом пространстве Еп. Существование предела u(t, х) при t —» +00 в Еп тесно связано с существованием предела усреднений по определенным телам (например, шарам), и отличие геометрии пространства Больяи-Лобачевско-го от евклидовой геометрии определяет иные подходы к исследованиям вопросов стабилизации.
Работа Репникова В. Д. [40] положила начало исследованиям по стабилизации решения уравнения теплопроводности в пространстве Больяи-Лобачевского. В ней было рассмотрено двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны —к2 < 0 и найдены необходимое и достаточное условия стабилизации u(t,x) для ограниченных начальных функций. В предельном случае, когда к = 0, эти условия совпадают с необходимым и достаточным условием стабилизации в евклидовой плоскости, однако в случае — к2 < 0 они различны.
Целью данной диссертационной работы является получение необходимого условия, совпадающего с достаточным, для пространства Больяи-

Лобачевского любой размерности.
Диссертация состоит из трех глав. Первая глава носит вводный характер и посвящена определению пространства Больяи-Лобачевского. Здесь возможны два подхода. С одной стороны, пространством Больяи-
* Лобачевского мы будем называть такое пространство, в котором реализуется геометрия Больяи-Лобачевского. Набор аксиом, необходимый для построения этой геометрии, состоит из аксиом евклидовой геометрии [5], за одним исключением — аксиома Евклида о параллельных заменяется постулатом Лобачевского: через точку проходит более одной прямой параллельной данной. С другой стороны, пространство Больяи-Лобачевского является частным случаем риманова пространства1 а именно, пространством постоянной отрицательной кривизны — к2 < 0 или гиперболическим пространством. Последний подход дает возможность
* использовать метрику пространства Больяи-Лобачевского, то есть нахо-
дить длину дуги произвольной кривой в этом пространстве, определяемую метрическим тензором, и объем тела. Разумеется, для этого необходимо соответствующим образом определить координаты метрического тензора.
Явный вид координат метрического тензора позволяет записать среднее значение любой функции на сфере, используемое для нахождения условий стабилизации, но для пространств больших размерностей вопрос нахождения метрического тензора достаточно сложен, и пользоваться формулой дифференциала дуги в явном виде мы будем только при использовании моделей пространства Больяи-Лобачевского в евклидовом
* полупространстве и в шаре.
В параграфе 2 рассмотрен частный случай модели в полупространстве — интерпретация Пуанкаре двумерного пространства Больяи-Лобачевского на евклидовой полуплоскости у > 0. Известно [20], что на ней можно определить геометрические объекты (“прямые” и “точки”), а также соотношения между ними (“принадлежать”, “лежать между” и “быть конгруентными”) таким образом, что полученная геометрия окажется геометрией Больяи-Лобачевского. Но для дальнейших исследований потребуется найти дифференциал дуги в плоскости Больяи-Лобачевского. Для этого используется тот факт [25], что псевдосфера является
9 поверхностью постоянной отрицательной кривизны, и на ней локально
реализуется геометрия Больяи-Лобачевского. Конформное отображение псевдосферы на евклидову полуплоскость у > 0 позволяет получить фор-
'Под римановым пространством понимается многообразие, в каждой точке которого задай два раза ковариантный, симметрический и невырожденный тензор, называемый метрическим.

Лемма 2.4. Для всех т € /V, в = 0, т — 1 и р € [0, оо) верно следующее представление
сН°кР 7 аЪ?т-1уду _ е(т-№р (е(т-1)кР
8Нт+3-1кр1 fchkp — ску 2т+5(4тп —3) ' '
где О(р) — функция одного порядка с р при р —> оо.
Доказательство. Вычислим интеграл
А(р) ‘Ш
йе} 7 вН2"1 худу ~0 Jchkp — ску
Под знаком интеграла произведем следующие замены г = с/17/, Я = сИкр, х = (Я — гД.
Получим
Л( ^ к[{сК>у-1Г-Чску ^ (г2 — 1)т~1дг I Jchkp — ску { /Я - г
Щ= уТГТ
= 2 / ((Я — х2)2 — 1)т-1(/а: = 2 / {х4 + Я2-2х2Я-1)т-Дх = о о
= 2 / (а;4^"1) + (т - 1)х4т~&(Я2 - 2х2Я - 1) + ... )дх = о
= 2^(а:4(т_1) + О (ж4"1-6)) с/х = —^(Д ~ 1)*** + Ох =
= -—-—~(с1гкр - 1)2т~§ + 02 (е<2т-!М .
4тт1 — 3 ' /
Таким образом
сЬ?кр ^ в}12гп~^'уду _ 2 сН3кр(с1гкр — 1)2т~* ^
зк3+т~1кр 4 у/сккр — ску 4тп — 3 зНт+а~1кр
+i^%02(e<2m''l,“’)■ <3-4>
Рассмотрим первое слагаемое правой части выражения (3.4):