Оптимизация распределенного воздействия на стационарный поток

• Автор: Петренко, Ирина Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 74 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. Постановка задач оптимизации

1.1. Формулировка задач оптимизации

1.1.1. Разрешимость задачи Рх

1.1.2. Разрешимость задачи Р

ГЛАВА 2. Оптимизация выброса в одномерный поток

2.1. Модель реакции-адвекции-диффузии

2.1.1. Оптимальное постоянное управление

2.1.2. Оптимальное измеримое управление

2.1.3. Оптимальное обобщенное управление
2.2. Модель реакции-адвекции
2.2.1. Оптимальное постоянное управление
2.2.2..................................Оптимальное измеримое управление
ГЛАВА 3. Оптимизация отбора из одномерного потока
3.1. Модель билинейной реакции-диффузии
3.1.1. Оптимальное постоянное управление
3.1.2. Оптимальное измеримое управление
Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена задачам моделирования и оптимального управления системами, описываемыми уравнениями с диффузией, течением и реакцией, возникающими в различных областях науки и техники. Круг таких систем достаточно обширен. Так, в работе [27] исследуется модель переноса загрязняющего вещества в потоке, приведены аналитические и численные подходы к решению поставленных модельных уравнений, а также примеры приложений построенных численных решений. В работе [38] модель Фишера, которая представляет собой уравнение диффузии-реакции с нелинейной (логистической) функцией роста, изучается для моделирования популяционной экологии, в которой организмы предполагаются движущимися согласно броуновскому закону. В этой же работе рассмотрено уравнение с диффузией и линейной функцией роста, представляющее собой модель KISS изменения размера ареала питания фитопланктона, необходимого для поддержания его цветения. Для обеих моделей построены фазовые траектории и выявлено их асимптотическое поведение при больших временах. Ранее изучались также и подобные модели систем с управлением. Попытки численной оптимизации таких управляемых систем были сделаны достаточно давно (см., например, [24,26]) и вполне успешно. Также активное развитие получили методы симуляции поведения системы при тех или иных параметрах для выработки системы ограничений и методов управления для достижения поставленных целей [25,33]).
В настоящей работе проводится качественный анализ таких моделей и в ряде случаев строится аналитическое решение задач оптимального управления. В конкретных прикладных задачах практическое применение методов теории оптимального управления (см., например, [4,20,31])наталкивается на ряд трудностей. Например, в случае минимаксного функционала встает вопрос о существовании оптимального управления и только после этого - о его

структуре.
Более сложными оказываются системы, описываемые уравнениями в многомерном пространстве с диффузией, течением и реакцией. В этом случае нами рассмотрена модель, имеющая распределенное на некотором конечном участке управление, для которой доказано существование оптимального решения в случаях интегрального и минимаксного функционалов при наличии ограничений (технологических и/или ёмкостных) как на управляющее воздействие, так и на параметры среды.
В диссертации рассматривается задача оптимизации распределенного воздействия на однородную сплошную среду, движущуюся с постоянной скоростью. Под воздействием мы понимаем или насыщение среды некоторым веществом (например, выброс загрязнения) или отбор какой-либо ее компоненты (например, фильтрация фитопланктона аквакультурой) с помощью размещения имеющегося ресурса в заданной ограниченной области И потока с гладкой или кусочно-гладкой границей.
Обозначая через ъп концентрацию изучаемого вещества в потоке, а через V - постоянную положительную скорость течения, которую считаем направленной ВДОЛЬ ОСИ Ох 1, получим следующее уравнение изменения этой концентрации
дги Огл 2л / ^
——I- V-— — а Игл — 7ш — У ) — и^л + и2■
иЬ их
Здесь £ - время, а2 - коэффициент диффузии, Д - оператор Лапласа по пространственным переменным х, х — (ад,..., Ха), 7 - коэффициент, характеризующий скорость естественного восстановления фонового значения концентрации У, а щ и щ - измеримые компоненты вектора управления и, характеризующие распределённые ресурсы отбора и выброса вещества, соответственно.
Предполагается, что среда совпадает со всем пространством Мф где и контролируются ее показатели.
При выходе на уровень ограничения у решение уі в силу непрерывной дифференцируемости должно иметь нулевую производную, иначе оно нарушит ограничение (2.12) вблизи точки выхода. Пусть а теперь является самой левой точкой выхода на границу оптимального решения, а (3 - самой правой. Тогда в силу леммы 2.3 решение постоянно и остается на ограничении на этом отрезке. Соответствующее такому решению управление можно вычислить из уравнения (2.2), подставляя значения у = у, у" = у' — 0. Получим, что управление и равно 7у на всем интервале (а, (3).
Определим теперь значения сопряженного вектора на этом интервале. В силу того, что и = 7у, а 7у Є (0, й), ограничения на управление неактивны и Ді = /<-2 = 0. Из уравнения (2.15) получим 1 — Д^А2 = 0 или, что то же самое,
Л2 = а2,
и, значит,
А' = 0.
Отсюда и из (2.14) получаем
Ху = -V, А( = и — 7,
и, дифференцируя,
а; = 0.
В результате имеем и = 7.
Найдем теперь оптимальное решение на полуинтервале [ад, а) (на полуинтервале (/3,х2] рассуждение проводится аналогично), на котором ограничение неактивно и, следовательно, и = 0. В этом случае система уравнений на сопряженный вектор имеет вид
( Л1 = _^Л2,
У2 = "А! - £А2,