Равномерная сходимость и сходимость в L p на замкнутом интервале спектральных разложений неклассических обыкновенных дифференциальных операторов

• Автор: Ломов, Игорь Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 291 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Теорема Рисса и ее обобщение на неортогональные системы функций с неклассическим неравенством Бесселя

§1. Обобщение теоремы Рисса

§2. Неравенство Бесселя для корневых функций обыкновенных

дифференциальных операторов

1°. Нелокальная формула среднего

2°. Оценки корневых функций

3°. Упрощение формулы среднего

4°. Неравенство Бесселя

5°. Необходимость условия ”сумма единиц”

6°. Теоремы о безусловной базисности в £2(С)
7°. Примеры
§3. Обобщенное неравенство Бесселя
1°. Обобщение неравенства Бесселя - неравенство Хаусдорфа-

2°. Первое применение обобщенной теоремы Рисса
ГЛАВА 2. Свойство базисности нерегулярных корневых векторов
нагруженных дифференциальных операторов
§1. Нагруженные дифференциальные операторы второго порядка
и нелокальные краевые условия
1°. Некоторые примеры исследованных и новых задач с
нелокальными краевыми условиями
2°. Интегральные представления корневых функций
3°. Оценки корневых функций
§2. Неравенство Бесселя и безусловная базисность
§3. Оператор произвольного порядка
§4. Примеры. Расходящиеся биортогональные ряды
§5. Равномерная сходимость биортогонального ряда
ГЛАВА 3. Локальная сходимость биортогональных рядов
§1. Оператор второго порядка
1°. Постановка задачи
2°. Основная теорема
3°. Доказательство основной теоремы
4°. Оценка скорости равномерной равносходимости разложений 163 5°. Различия в скорости равносходимости для разных видов L
6°. Примеры
7°. Доказательство леммы 1 об оценках интегралов
§2. Оператор высокого порядка
1°. Основная теорема
2°. Локальная базисность
3°. Доказательство леммы 4 об оценках интегралов
ГЛАВА 4. Сходимость биортогональных рядов на всем отрезке .
§1. Оператор второго порядка
§2. Оператор высокого порядка
§3. Примеры
ГЛАВА 5. Локальная формула среднего значения Е.И.Моисеева для дифференциальных операторов четного порядка с негладкими
коэффициентами
1°. Формулы среднего значения
2°. Лемма об оценках интегралов
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена изучению свойств систем корневых функций линейных обыкновенных дифференциальных операторов Р, заданных на конечном отрезке числовой прямой. Операторы могут быть как самосопряженными, так и несамосопряженными, причем особое внимание уделено случаю существенно несамосопряженных операторов, системы корневых функций которых содержат бесконечное число присоединенных функций. Установлены необходимые и достаточные условия справедливости неравенства Бесселя, обобщенного неравенства Бесселя (неравенства Хаусдор-фа-Юнга) для этих систем, получено обобщение теоремы Рисса (Рисса-Фишера, Хаусдорфа-Юнга). Доказан критерий безусловной базисности (базисности Рисса) в С2 как для регулярных корневых функций, так и для нерегулярных - имеющих разрывы 1-го рода вместе со своими производными в конечном или счетном числе точек отрезка. Рассмотрение такого нерегулярного класса функций при использовании метода В.А.Ильина позволило окончательно отказаться от конкретного вида краевых форм оператора.
Предложен метод, позволяющий устанавливать равносходимость вплоть до границы отрезка биортогональных разложений функций по корневым функциям операторов Ь с разложением этой функции в обычный тригонометрический ряд Фурье (далее - сокращенно ТРФ). Причем впервые это сделано для дифференциального оператора порядка 2те, п > 1, коэффициент при (2п — 1)-ой производной которого - негладкая функция, принадлежащая лишь классу /Р,5 > 1. Получены точные оценки скорости равносходимости на всем интервале. Обнаружено, что скорость равносходимости может существенно зависеть от степени суммируемости 5 коэффициента при (2п — 1)-ой производной.
Для получения указанных оценок не привлекается оператор Ь*, сопряженный с Ь, существование которого налагает условия гладкости на коэффициенты дифференциальной операции. Система функций, биортогональ-
Введение

Глава 4. Сходимость биортогональных рядов на всем интервале. В §1 исследуются операторы второго порядка с коэффициентами (11), 5 > 1. Доказаны две теоремы.
Теорема 4.1. Фиксируем произвольное число р Є (1,оо). Пусть f[x) £
Пусть р > 2, s > g, тогда min(2,q,s) = g. Следующий пример показывает, что при р > 2, s > q условие (12) с u > l/g в теореме 4.1 точно по порядку: если v — l/g, то теорема перестает быть верной. Рассмотрим описанную выше систему функций и^[х) = sin7r(fc + 1/(2р))х, х € G, k — 1,2,... ; р £ (1,оо). Оператор L при этом порождается операцией d2/dx2, pi(x) = qi(x) = 0, s = оо, Afc = 7Г(к + 1/(2р)). Система является минимальной и замкнутой в CP(G). Тем самым, для нее выполнены условия I и условие (11).
Пусть р > 2. Рассмотрим функцию f(x) = 1. Нетрудно получить из асимптотической формулы для интеграла от функции vк из биортогональ-НОЙ системы двустороннюю оценку fk = 0*(k~1^q), т.е. имеет место оценка (12) с v — 1/д. Доказано ([141]), что {ttfc} не образует базиса в CP(G) и би-ортогональный ряд функции f(x) сходится к функции, не принадлежащей CV{G). Тем самым, утверждение теоремы 4.1 не имеет места.
Теорема 4.2. Фиксируем произвольное число р £ [1, оо). Пусть /(ж) £ £г° (G), выполняются условия I и условия (11 ), (12). Тогда для всех достаточно больших чисел А справедлива оценка
Предполагаем, что для оператора L0 в условии (12) показатель v0 > v.
£тпах(р,го ) (G) и выполняются условия I, условие (11) и оценка (12), где v > l/mm(2,g, s), q = p/(p—T). Тогда
II/- (T(x,f)WP -» О, A оо.
0(max(A-1,A-^-1^))), иф 1 + 1/6,
0(А-1ln1/l<5 A), v — 1 + 1/<5, 6 = min(2, g, s)