Показатели Ляпунова, аттракторы и слоения

• Автор: Клепцын, Виктор Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с. : ил.

0.1 Структура диссертации

0.2 Случайные динамические системы

0.3 Аттракторы

1 Динамика слоений

1.1 Введение

1.1.1 Результаты для случая слоения

1.1.2 Структура доказательства

1.1.3 Другие примеры динамических систем

1.2 Отрицательный показатель Ляпунова

1.2.1 Сжатие

1.2.2 Похожесть броуновских движений на разных слоях

1.2.3 Доказательство теоремы А
1.2.4 Примеры: голоморфные слоения комплексных поверхностей
1.3 Симметрический случай
1.3.1 Дихотомия: доказательство теоремы В
1.3.2 Доказательство основной теоремы
1.3.3 Примеры: С2-слоения коразмерности один
1.3.4 Контрпример в несимметричном случае
1.4 Подвижные слоения
1.4.1 Несколько примеров
1.4.2 Нерасхождение слоев
1.4.3 Применение к строгой эргодичности
1.5 Приложение: доказательства технических утверждений
1.5.1 Закон больших чисел: оценка дискретизации

1.5.2 Доказательство леммы 1.2
1.5.3 Коразмерность, большая единицы
1.5.4 Неположительность показателей Ляпунова
2 Лтшп ф Astat
2.1 Введение
2.2 Определения
2.3 Основной результат
2.4 Динамика: идеи доказательств
2.5 Доказательства
2.6 Замечания
3 Аттракторы для ячейки Черри
3.1 Введение
3.2 Определение ячейки Черри
3.3 Основной результат
0.1 Структура диссертации
Главной целью данной диссертации является исследование различных феноменов типа притяжения в динамических системах.
В главе 1 мы, следуя определениям, предложенным JT. Гарнетт [38], исследуем динамические свойства слоений. Более точно, пусть на некотором компактном многообразии задано слоение, слои которого снабжены римановой метрикой. Тогда можно рассмотреть броуновское движение вдоль его слоев и задать вопрос о поведении соответствующих отображений голономии. Для таких систем, в случае трансверсально конформных слоений (в частности, для слоений коразмерности 1), в настоящей работе получена следующая альтернатива. Показано, что либо существует трансверсально инвариантная мера (вырожденный случай, встречающийся исключительно редко), либо отображение голо-номии вдоль типичного пути экспоненциально сжимает. Отсюда выводится, в частности, строгая эргодичность такой системы на любом минимальном подмножестве.
Также исследуются свойства соответствующего послойного уравнения теплопроводности, для которого, как следствие, получена теорема стабилизации.
Использованная техника может быть применена во многих других случаях: “словарь Салливана” позволяет переносить полученные результаты на случай конформного действия групп и конформных соответствий.
Главы 2 и 3 посвящены исследованию различных типов аттракторов для обычных динамических систем. Существует много определений того, что следует считать аттрактором системы: максимальный аттрактор, предельное множество, неблуждающее множество, центр Биркгофа, милноровский, статистический и минимальный аттракторы. Иерархия (т.е. свойства включения) таких аттракторов уже широко исследовались, в

1.3.2 Доказательство основной теоремы
Предположим, что слоение Т трансверсально конформно и не имеет трансвсрсальной инвариантной меры. По теореме В, на каждом минимальном множестве есть единственная гармоническая мера, причём её показатель Ляпунова отрицателен. В силу свойства притяжения, у каждого из минимальных множеств есть окрестность, не содержащая других минимальных множеств. Поэтому существует лишь конечное число минимальных множеств Mi,... ,Мк- Обозначим через /ц /ц соответствующие гармонические меры, и через Ах Л* соответствующие показатели Ляпунова. Отметим, что любая точка х £ М принадлежит бассейну притяжения по крайней мере одного из этих множеств; это происходит потому, что множество
М (|J Attr{Mj))
j=l
замкнуто, состоит только из целых слоёв и не содержит ни одного минимального подмножества — а значит, оно должно быть пусто.
Пусть а > 0 — вещественное число, такое, что а < |Aj| при всех j. Для каждой точки х 6 М рассмотрим вероятность
Pj{x) = Wx({7 € Г* | 7(t) —-» Mj}),
того, что броуновский путь, начинающийся в точке х, стремится к Mj. Заметим, что почти любой броуновский путь, стремящийся к Mj (если такие пути вообще существуют) распределён в соответствии с мерой fij, и сжимает трансверсальную окрестность точки х экспоненциально с показателем но меньшей мере —а (см. замечание 1.2.8). Мы утверждаем, что сумма этих вероятностей равна 1; иными словами, Жг-почти любая траектория стремится к одному из этих минимальных множеств при (с выполнением условий на распределение и трансверсальное сжатие). Это доказывается следующим образом: для сколь угодно малых окрестностей Ui Uk множеств М М, соответственно, дополнение R = М UjUj является замкнутым множеством, не содержащим ни одного минимального подмножества, и потому не содержащим целиком ни одного слоя. Следовательно, для любой точки х 6 R существует идущий вдоль слоя путь от этой точки к одной из окрестностей Uj-, более того, ввиду компактности R, длина такого пути равномерно ограничена на R. Поэтому для точки х G R вероятность попасть за время 1 в одну из окрестностей Uj