Топологическая классификация диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом модулей топологической сопряженности

• Автор: Митрякова, Татьяна Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Содержание
Введение

Формулировка результатов

1 Необходимые сведения

1.1 Динамические факты

1.2 Топологические факты

2 Динамика диффеоморфизмов класса Ф

3 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса Ф

3.1 Схема диффеоморфизма / е Ф

3.2 Вспомогательные результаты

3.3 Достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса Ф

3.4 Критерий топологической сопряженности диффеоморфизмов класса Ф*
4 Реализация диффеоморфизмов класса Ф
4.1 Связь динамики диффеоморфизма / £Фс его схемой
4.2 Абстрактная схема
4.3 Связь рода поверхности со схемой заданного на ней диффеоморфизма
4.4 Теорема реализации
Заключение
Список литературы

Введение
Предмет исследования. Диссертация посвящена топологической классификации негрубых диффеоморфизмов с конечным гиперболическим неблуждающим множеством, заданных на гладких замкнутых ориентируемых двумерных многообразиях. Она охватывает исследования автора 2005 - 2011 годов.
Актуальность темы. Данная работа относится к одному из важнейших разделов качественной теории динамических систем — топологической классификации каскадов па замкнутых гладких ориентируемых многообразиях размерности два.
История вопроса. Качественная теория динамических систем исходит из отношения эквивалентности, которое сохраняет разбиение фазового пространства на траектории в следующем смысле.
Два потока /г : X —> X, д1 : X —> X (каскада / : X —» X, д : X —» X) называются топологически эквивалентными (сопряженными), если существует гомеоморфизм к : X —► X, переводящий траектории одной системы в траектории другой с сохранением ориентации (такой, что д(к(х)) = к(/(х)), гомеоморфизм к при этом называется сопрягающим).
Непосредственная проверка топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем является, вообще говоря, невыполнимой задачей. Поэтому возникает актуальная проблема нахождения обозримых топологических инвариантов (некоторых объектов или свойств системы, сохраняющихся при топологической эквивалентности (сопряженности)) таких, что совпадение инвариан-

тов двух систем гарантирует их эквивалентность (сопряженность). Нахождение топологических инвариантов является частью топологической классификации динамических систем, где под топологической классификацией некоторого класса О динамических систем понимается решение следующих задач:
• нахождение топологических инвариантов динамических систем из класса С;
• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение множеств топологических инвариантов является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем из
• реализация, то есть построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя, принадлежащего б?.
К настоящему времени наиболее исчерпывающим образом задача топологической классификации решена для структурно устойчивых (грубых) потоков на поверхностях, а также дня двумерных структурно устойчивых диффеоморфизмов с конечным неблуждающим множеством (диффеоморфизмов Морса-Смейла).
На плоскости и двумерной сфере задача топологической классификации грубых потоков (потоков Морса-Смейла) была полностью решена в работах Е. А. Леонтович и А. Г. Майера [45], [46] с помощью топологического инварианта, названного схемой потока. Фундаментом для этого явились идеи Пуанкаре-Бендиксона, связанные с выделением тех траекторий, знание и взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории, а также идея грубости, принадлежащая А. А. Андронову и Л. С. Понтря-гину [1]. В работе [58] М. М. Пейкшото ввел понятие структурной

a) неподвижная точка хо с Wfi является притягивающей неподвижной точкой диффеоморфизма fw$;
b) неподвижная точка хо с Wtf является отталкивающей неподвижной точкой диффеоморфизма fw$;
c) касательные пространства многообразий W(} и Wtf инвариантны относительно линейной части / и порождают разложение Df(xо) в прямую сумму сжимающего и растягивающего операторов Df(x0) = EsXq ф Е%0;
<1) гладкость Wfj и Wtf не меньше, чем гладкость /.
оо оо
Множество W*o — Гп(Щ) (Wxo — X) /n(Wy)) называется
71=1 71=
устойчивым (неустойчивым) многообразием точки х0.
Гладкость W* (W“) не меньше, чем гладкость /, но, в общем случае, оно является подмногообразием только локально. Поэтому под размерностью dim W'* (dim VT") понимается топологическую размерность, которая в данном случае совпадает с dim E(l (dim Е%). При топологической сопряженности h многообразие W® (W“) преобразуется в многообразие Таким образом, свойство
принадлежности точки устойчивому (неустойчивому) многообразию является топологическим инвариантом.
В топологических терминах устойчивое и неустойчивое многообразия определяются следующим образом:
устойчивое многообразие W* = {х е М2 : lim d(fn(x),p) —
1 n-^-foo

неустойчивое многообразие W£ = {х £
М2 : lim d(f~n(x),p) = 0},
n—»-foo
где d — метрика на М2. При этом dim W£ (dim W) совпадает с числом собственных значений точки р, по модулю меньших (больших) единицы, Wp = (7s(Edlm w>') (W — g“(IRdim рГ-‘)), где gS . jgdim W* jyp ^gu . щДип W“ _ инъективная иммерСИЯ,
то есть инъективное Сг-отображение, ранг матрицы Якоби которого