О приближении многомерных объектов одномерными

• Автор: Комаров, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 81 с.

Содержание
' * Введение

1 Спектр сеток с квадратными ячейками
1.1 Постановка задачи
1.2 Вспомогательные сведения из теории графов
1.3 Сведение задачи к задаче о спектре алгебраического графа
1.4 Спектр гиперкубической сетки
1.4.1 Некоторые факты из спектральной теории алгебраических графов
1.4.2 Общее уравнение
1.4.3 Случай без масс
1.4.4 Случай с массами
1.5 Случай произвольной области
^ ^ 2 Произвольные сетки
2.1 Постановка задачи
2.2 Равномерное неравенство Пуанкаре
2.3 Об аппроксимации многомерных задач одномерными
2.4 Условия близости спектров Л* и Ло
2.5 Связывающие операторы
2.6 Некоторые оценки прямых и обратных операторов
2.7 Сходимость операторов Аркак + XI
Литература

Введение
* t Проблематика данной работы тесно примыкает с одной стороны к общей
' спектральной теории дифференциальных операторов на так называемых
геометрических графах (Г. Люмер, Ю.В. Покорный, B.C. Павлов и др.). С другой стороны имеется связь с теорией усреднения дифференциальных операторов на сингулярных структурах (В.В. Жиков, С.А. Назаров и др.), выросшей, в свою очередь, из теории усреднения в перфорированных областях (В.В. Жиков, С.М. Козлов, O.A. Олейник, Э.Санчес-Паленсия и др.).
Конкретно, в работе изучается низкочастотная часть спектра частот собственных колебаний сетки из струн, закрепленной на границе некоторой области и достаточно густо заполняющей эту область. К настоящему времени в решении подобных задач конкурируют два основных подхо-
* да. С одной стороны это метод усреднения, точнее его вариант недавно } разработанный В.В. Жиковым, и метод асимптотических разложений.
Следует заметить, что метод усреднения применялся исключительно к периодическим механическим системам. Более того, именно для таких систем он и разрабатывался. В конечном итоге он обеспечивает достаточно простое описание решений краевых задач, связанных с упомянутыми системами в терминах их близости к решениям аналогичных усредненных задач в классических областях. Метод асимптотических разложений более автономен (задача изучается вне ее связи с какой-либо усредненной задачей) и не предполагает наличие какой-либо периодичности. Однако, описание решения в достаточно сложных (непериодических) случаях получается трудно обозримым, в особенности когда речь идет о низкочастотной части спектра колебаний упомянутых систем.
В связи с этим представляется актуальным сохранив преимущества
* метода усреднения распространить его на непериодический случай. В общем объеме эта задача представляется сложной и вряд ли следует

ожидать ее быстрого решения. Однако, для задачи, рассматриваемой

в данной работе удалось получить продвижение в этом направлении на
* основе техники, близкой к разработанной Г.М. Вайникко в 70-х годах и < относящейся к изучению сходимости проекционных методов (метод Га-
* леркина, Ритца и др.). В итоге нами найдены достаточно естественные физические условия при которых низкочастотная часть спектра сетки из струн, достаточно густо заполняющей область Л С 72" близка к аналогичной части спектра некоторого упругого континуума (при п = 2 мембраны), заполняющего ту же область. Ранее подобные результаты получались только для случая периодических систем.
Ключевые моменты этой работы, отличающие ее от работ, близких по тематике выделим в следующие несколько пунктов:
1 Показано, что низкочастотная часть спектра периодической сетки из однородных струн сходится к соответствующей части спектра однородной мембраны вместе с кратностями.

2 Найдены естественные физические условия близости спектров непе-
* * риодических сеток из струн и спектра мембраны, заполняющих одну и
ту же область.
Теперь перейдем к краткому описанию полученных результатов по главам этой работы.
В целом, в первой главе изучается спектр периодической сетки из струн с квадратными ячейками, заполняющей некоторую область в 72".
Пункт 1.1 посвящен постановке задачи. Пусть в 72" натянута сетка Гд, состоящая из струн -у*, связанных между собой в виде графа с квадратными ячейками и "заполняющая" некоторую область П с кусочно гладкой границей. Предполагается, что сетка закреплена в узлах - их множество обозначим через 0Гд, лежащих в дС1. Множество остальных узлов обозначим через ./(Гд) и будем называть внутренними вершинами графа Гл. Математической моделью собственных колебаний описанной
* сетки является следующий набор соотношений:
* 0-ди"(а;) + Адрли(х) = 0, х 6 л (0.1)

(1.4.1) мы получаем, что спектр алгебраического графа С?, (т.е. решения относительно р уравнения |(7 — р1 = 0) равен
Р = 2 $3 сов (^Н%), (А = 1, N - 1) (1.27)

С другой стороны,
р = 2псоэ (/ц/Ад—) — гп}1 бш (/ц/ад—). (1.28)
V сгл у V ^
Приравнивая правые части выражений (1.27) и (1.28) получаем искомое уравнение (1.26). ■
Замечание 1.1 . Точное описание (1.26), (1.25) спектра графа Гд определяет кратность каждой точки спектра. Так, решения уравнения (1.25) имеют кратность (И — 1)п-1((п — 1)N + 1).

Решения уравнений (1.26) при фиксированной сумме 0% сливают-

ся при /г —>■ 0, что опять же определяет кратность общего решения как точки спектра. Из (1.25) видно, что решения Ад этого уравнения при малых Ь, как угодно далеки от нуля. Эти собственные значения как раз соответствуют экзотическим амплитудным функциям, изображенным на рис. Поэтому "начало спектра "Ад сетки Гд определяется уравнениями (1.26). Зависимость решений (1.26) от И достаточно нетривиальна, так как множество этих решений для каждого вектора (3 = (/Зь • * • , /Зп), (А = 1, N — 1) образует неограниченную последовательность. Таких векторов /3 при фиксированном Н конечное число, неограниченно возрастающее при /1-4 0. Зафиксируем р.