Аналитические представления и устойчивость решений линейных систем функционально-разностных уравнений

• Автор: Кукушкина, Евгения Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 112 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ 3 *

Глава 1. СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Начальная задача Коши для функционально-разностных уравнений

1.2. Представления решений стационарных функциональноразностных уравнений

1.3. Уравнения для функций Б яТ

Глава 2. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Условия существования и единственности решений начальной задачи Коши

2.2. Общий вид решений нестационарных функционально-разностных уравнений

2.3. Методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общего решения
2.4. Продолжимость решений функционально-разностных уравнений
на всю числовую ось
2.5. Связь функционально-разностных уравнений с функциональнодифференциальными уравнениями
Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Стационарные системы функционально-разностных уравнений
3.2. Нестационарные системы функционально-разностных уравнений
3.3. Периодические системы функционально-разностных уравнений
3.4. Устойчивость динамических процессов в математической модели производства товаров
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Литература

Актуальность. Исследования разностных уравнений с дискретным аргументом имеют большую историю и продолжаются в наши дни [3], [12], [33], [71], [73], [75], [76], [80], [83]. Интерес к ним стимулируется вопросами математического моделирования в различных областях естествознания и проблемами теоретического обоснования вычислительных алгоритмов. Фундаментальные основы теории этих уравнений изложены в монографиях А.О. Гельфонда [16], А. Халаная и Д. Векслера [63], Д.И. Мартынюка [43], И.В. Гайшуна [15], А.М. Самарского [56]. Развитие теории разностных уравнений с непрерывным аргументом стимулируется потребностями математического моделирования и проблемами, связанными с нахождением решений функциональных уравнений, которые появляются в ходе изучения различных математических объектов. Исследования разностных уравнений установили их тесную связь с дифференциально-разностными уравнениями. Поэтому терминология и методология исследования последних уравнений, изложенная в монографиях [1], [7], [35], [36], [47], [64], [68], [69], может быть использована для разностных уравнений. Наиболее изученным объектом оказались разностные уравнения с постоянными отклонениями аргументов [2], [9]—[11], [27], [35], [41], [44], [45], [50]-[52], [58], [62], [66], [72], [74], [81], [82]. Для данного класса систем получены условия существования решений разной степени гладкости, найдены представления общего решения линейной неоднородной системы и разработаны методы исследования устойчивости. Разностные уравнения с переменными отклонениями аргументов называют также функциональными уравнениями. Проблема существования и представления решений для них является достаточно сложной. Она изучалась в работах [4], [6], [20], (28], [38], [39], [46], [49], [53]—[55], [57], [78], [79]. Спектральные свойства операторов, порождаемых функциональными уравнениями, исследовались, прежде всего, в связи с изучением функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа [1], [8], [29], [40]. Разностные уравнения с распределенными отклонениями аргументов изучены плохо. В настоящей работе мы называем их функционально-разностными по аналогии с функционально-дифференциальными уравнениями. Такие объекты привлекали внимание исследователей в ходе изучения математических моделей, описываемых интегральными уравнениями Вольтерры [14], [59] и функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа [5], [64], [67], [77]. Установлена связь линейных стационарных функциональноразностных уравнений [64], [77] с теорией сильно непрерывных полугрупп. Также для этих уравнений доказано утверждение, позволяющее делать заключение об устойчивости нулевого решения на основе анализа расположения корней характеристического уравнения [64], [77]. Объектом исследования настоящей работы является линейная система функционально-разностных уравнений.

Цель работы. Предложить методы построения общего решения линейной системы функционально-разностных уравнений в стационарном и нестационарном случаях. Полученные результаты использовать при исследовании устойчивости рассматриваемых систем.
Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить решения начальной задачи Коши для систем функционально-разностных уравнений, а также устанавливать условия
устойчивости решений этих уравнений. На защиту выносятся следующие результаты:
1) Установлены условия существования и единственности непрерывных решений начальной задачи Коши для стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений.
2) Получены аналитические представления общих решений стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений.
3) Разработаны методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общих решений.
4) В функциональном пространстве состояний введены понятия эволюционного оператора, оператора монодромии и доказаны общие утверждения об устойчивости решений функционально-разностных систем.
5) Найдены условия устойчивости решений для некоторых классов функционально-разностных систем.
Методы исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория разностных и функциональнодифференциальных уравнений, функциональный анализ и теория устойчивости движения. При нахождении аналитического представления общего решения системы функционально-разностных уравнений основным является результат о виде линейного непрерывного оператора в пространстве непрерывных функций. При исследовании устойчивости решений основными являются понятия эволюционного оператора и оператора монодромии.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования конкретных функционально-разностных уравнений, в том числе на устойчивость, и дальнейшего развития теории функционально-разностных уравнений, а также в качестве лекций специального курса.
Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались и докладывались на:
4-й международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2003);
Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения

Решение ха системы (2.1) с начальной функцией (0(1?) = <р(Ьо), д € [4о — г, *о], и неоднородностью, определяемой формулой к (4) = Л (40) = (/„ + г) (40, —г)) ч> (*о), 4 > 4о, задается формулой
х0 (4) = V (4, 40) <Р (*о), t>t0,
где У (4о,4о) = 0 и функция V (<, <о) непрерывна по аргументу 4 на полуоси [40, оо). Лемма 2.4. Функция Б не зависит от 4оДоказательство. Пусть х~ решение (2.15), отвечающее начальному моменту 40. Для *! > 40 имеем х~ (4) ■= х~ (4) при t € [<1,оо), если к (4) =0 при 4 € [4о,*1]. Следовательно,
х~° (г) - х—1 (4) = £ дБ (4, а, 40) Л (в)
= [ «4(Д(4,8,4о) - Д(4, в, *г)) (в) = 0 Л,
при любых /1 е Сц ([*1,оо),Кп). Тогда 5 (4, в, <1) = Я (г, в, 40) = 5(4, в) при в € [*1,4], * € [*х, оо). Лемма доказана.
Согласно доказанной лемме имеем
х^(*)= [ 6Б (*, в)?! (5), *>*о,

где 5 (*, в) = 0 при 4 < в; при любом т > 40 выполняется неравенство вир гаг 5 (4, в) < оо, и функция /,т 5 (£, в) йв непрерывна по 4 на полуинтервале
[*о, оо).
Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда непрерывное решение начальной задачи Коши допускает представление
х (*)=/" дТ (4, з, *0) <Р («) + [ дБ (4, в) к (в) + (V (4, *0) + 1п) <р (40), 4 > 40, (2.16)
г »/*о
где <р (в) = <р (в) - (40), 8 € [*о - г, *0]; к{Ь) = к (*) - к (*0), 4 > 40; Т (*, *0 - г, <о)
при * > 40; Т(*о,8, *о) — 0 при з е [*о — г, *о]/ 5(4, з) = 0 при < < в; при любом т > *о выполняются неравенства вир шг Т (*, в, *о) < оо, вир саг Б (*, в) < оо,
<€[^о,т-)*0—г—3—*° (е^о.т]40-3
при любом Т > и и любом 0 < г' < Г функции 5 (4, в) <1.4 и //0°_ГГ Т (£, 8, *о) ^8 непрерывны по 4 ка полуинтервале [4о,оо); V (40,40) = 0 и функция V (4,40) непрерывна по 4 ка полуоси [4о, оо).
2.3. Методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общего решения
Представление решения х^ системы (2.1) связано с нахождением функции 5.

•/к
(4, в^) /г (в)