Устойчивая разрешимость абстрактных краевых задач

• Автор: Плехова, Эльвира Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 120 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Предварительные сведения и вспомогательные
утверждения
§ 1Л. Банаховы функциональные пространства
§ 1.2. Линейные операторы
§ 1.3. Непрерывные операторы и некоторые теоремы существования
Глава 2. Устойчиво разрешимые операторы
§ 2.1. Устойчиво разрешимые операторы
§ 2.2. Некоторые свойства устойчиво разрешимых операторов
§ 2.3. Достаточные признаки устойчивой разрешимости
§ 2.4. Устойчиво разрешимые операторы относительно класса
усиленно непрерывных возмущений
Глава 3. Устойчивая разрешимость абстрактных краевых задач
§ 3.1. Устойчиво разрешимая абстрактная краевая задача
§ 3.2. Свойства устойчиво разрешимых абстрактных краевых задач
§ 3.3. Абстрактная краевая задача для квазилинейного уравнения с
нелинейными краевыми условиями
§ 3.4. Разрешимость квазилинейных краевых задач
Глава 4. Некоторые приложения
§ 4.1. Задача Коши для одномерного стационарного уравнения
теплопроводности
§ 4.2. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно старшей
производной
§ 4.3. Разрешимость нелинейного уравнения Гаммерштейна
Литература

Основные обозначения
Далее в работе будем использовать следующие обозначения:
R, R1 - множество действительных чисел;
R+ - множество неотрицательных чисел;
Rn - пространство n-мерных вещественных векторов с нормой |-[;
в - нулевой элемент пространства;
Е - единичная матрица;
I - тождественный оператор;
X,Y,Z - банаховы пространства;
X ®Y - прямая топологическая сумма банаховых пространств;
X х У - декартово произведение пространств;

X - банахово пространство, сопряженное с пространством X; dim Х0 - размерность подпространства Х0;
Uг - шар радиуса г с центром в нуле в банаховом пространстве X; дЛ - граница множества А;
А п В - пересечение множеств;
А и В - объединение множеств;
B(X,Y) - банахово пространство линейных ограниченных операторов L.X-+Y,
ker L - ядро линейного оператора L;
R{l) - образ линейного оператора L;

L - оператор, сопряженный к линейному оператору L; о(ь) - спектр линейного оператора L;
q(jL) - коэффициент сюръективности линейного ограниченного оператора;
XL - базис ядра оператора L;
Р: X -> X проектор, Рс = I - Р - дополнительный проектор;
(у) - билинейная форма на X х X ;

Л - оператор, сопряженный к линейному оператору Л; р(х) - образ нелинейного оператора і7;
[/і,Т2]: X -» її хУ2 - обозначение оператора, определенного равенством [Ті,Т2]* = {Тхх,Т2х), где Т1:Х-¥х,Т2:Х->¥2і

21 22 У
: х Л2 —> її х Г2 - обозначение оператора, определенного
равенством Тх = (Тпхх + Ті2х2, Т2Хх + Т22х2),тд& Т-:Х-] ->У;, /,/ = 1,2; deg[F,Ur,Rn) - степень отображения Брауэра вектор-функционала Р относительно шара Vг в пространстве Яп;
с1е§{1-Р,иг,Х) - степень отображения Лере-Шаудера вполне непрерывного оператора Р относительно шара 1/г в пространстве X;

Если Hl,H2ex¥(X,Y) и a,j3 eRl - некоторые числа, то
lim sup laНлх+ вН7х\ < а lim sup Ндс|| + В lim sup II Н7х|| = 0. Г->°°|х|=Г Г-С0М=Г Г_00|дс!=Г'
Следовательно а+/3Н2 е(Х,Y). Таким образом, класс
является линейным пространством. Этим обусловлен тот факт, что
операторы Т + Н, ЛТ, где Т : X -> Y - устойчиво разрешимый оператор,
А* 0, и H ex¥(X,Y), являются устойчиво разрешимыми операторами.
Справедлива
Теорема 2.2.2. Пусть Т : Х-> Y - устойчиво разрешимый оператор тогда Т(ЛТ)= Y, т.е. оператор Т сюръективный.
Доказательство. Справедливость утверждения теоремы непосредственно следует из определения устойчивой разрешимости, так как нулевой оператор принадлежит классу Д/(Х,Т).И
Следует отметить, что сумма двух устойчиво разрешимых операторов, в общем случае, не является устойчиво разрешимым оператором.
Теоремы 2.2.3-2.2.6 говорят о том, какие условия необходимо наложить на оператор А, чтобы сделать вывод об устойчивой разрешимости оператора
АТ (или ТА). При этом предполагается, что оператор Т свойством
устойчивой разрешимости обладает. В теоремах 2.2.3, 2.2.4 оператор А представляет собой гомеоморфное отображение.
Теорема 2.2.3. Пусть выполнены условия:
1) Т : X —» Y - устойчиво разрешимый оператор относительно класса ;
2) Г : Y —» Z - гомеоморфизм, удовлетворяющий условию
||/>|>«г + %|, Vy е Y, a>0,b>0. (2.2.1)
Тогда оператор ГТ : X -»Z является VF0 -устойчиво разрешимым. Доказательство. Достаточно показать разрешимость уравнения
ГТх - Нх (2.2.2)
с вполне непрерывным оператором H €xÿ(X,Z).