Устойчивость обратного стохастического дифференциального уравнения

• Автор: Захаров, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 63 с.

1 Введение
2 Теорема устойчивости решения обратного стохастического дифференциального уравнения (ОСДУ)

2.1 Приложение 1 к доказательству теоремы устойчивости решения ОСДУ

2.2 Приложение 2 к доказательству теоремы устойчивости решения ОСДУ

3 Приближенное решение однородного ОСДУ

3.1 Построение аппроксимации решения

3.2 Доказательство устойчивости метода

3.3 Граничные условия

4 Приближенное решение ОСДУ в общем случае

4.1 Обоснование метода для случая однородного уравнения с

использованием устойчивости решения ОСДУ

4.2 Случай неоднородного уравнения и обоснование его сходимости
4.3 Алгоритм численного решения неоднородного ОСДУ
5 Приложения
5.1 Расчеты для модельного случая (однородное ОСДУ)
5.2 Одна задача управления стохастическим дифференциальным уравнением

5.3 Модифицированная модель Блека-Шоулса с различными
ставками размещения и привлечения средств
Библиография

1 Введение
Теория обратных стохастических дифференциальныех уравнений (везде далее будем использовать сокращение ОСДУ) представляет собой сравнительно молодую область математики, которая начала развиваться в девяностых годах. ОСДУ в общем случае введены в 1990 году в работе [10]. Решением ОСДУ, рассматриваемого на отрезке времени [0,Т, является пара адаптированных процессов У, Z, принимающих значения в пространствах ГГ* и соответственно, и удовлетворяющих уравнению:
(1Ъ =+ уг = ф (1)

1. на вероятностном пространстве (0,,Р,Р) задан п-мерный винеров-ский процесс У1, порождающий фильтрацию {.Т-'Д^о;
2. случайная величина £ измерима относительно ст-алгебры Тт и выполнено условие Е£2 < оо;
3. функция / : Б2 —> И. удовлетворяет условиям Липшица по обоим аргументам, то есть
/(у,г) - 1(у',г') < Щу-у' + г-г').
Заметим, что если отбросить терминальное условие в (1) и задать случайный процесс и начальное условие Уо, то (1) будет представлять собой обычное (прямое) стохастическое дифференциальное уравнение. Таким образом, чтобы решить ОСДУ, необходимо подобрать случайную

Обозначим, кроме того, hx) = f(x),
hx)
1 Э2/(х)
2 дх
+ /у (чМ. (i^i + /») +
(87)
h (чМ, ¥) (I
gaM" /1 э3?)(ж) . д/(х)'
2 дх3 Эх ,
Приближение решения нелинейного уравнения положим следующим: v(t, х) — v(t, х) + /г1(х)(Т — i) + h2{x){T — i)2
Выражение f(v(t,Wt),G(t,Wt)) может быть представлено в виде:
Wt), G(t, Wi)) = f(Wt) + fY(v(T, Wi), G(T, ИД)й*(Г, wi)(i - T) + fz(v(T, Wt), G(T, Wi))Gt(T, Wi)(t - T) + 0((i - T)2).
Таким образом стохастическая невязка ф неоднородного ОСДУ, соответствующая приближению решения v,G, преобразуется к виду:
& = фг - hWt){T - i) - й2(ИД(Т - t)2/2—
/[/(ИД) + /у(й(Т, ИД), G(T, ИД))нДТ, ИД)(г - Т)+
/г(й(Т,ИД), G(T, ИД))Сг(Т, ИД)(т - Т) + 0((i - T)2)]dr - ]{dJ^x=wt(T -t) + x=wt(T - t)2/2]dWT,
(88)
где ф — стохастическая невязка однородного уравнения, соответствующая аппроксимации н(Дж).

Преобразование выражения / /(Ут)с1т.
В главе 2 показано, что т
J f(WT)dr = hf(t, Wt) + I Mf(TWT)dWT,
t t
(89)